高二数学期末总复习系列

江苏省沙溪高级中学高二（10）班李凌高二文科数学辅导系列一1ABDCA1B1C1D1高二数学期末总复习系列第1讲立体几何专题2011.12.61.（2011年重庆卷最后第二题）如题（20）图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，,2,1ABBCACADBCCD（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。2.（2011年上海高考文科简答题第二题）已知1111ABCDABCD是底面边长为1的正四棱柱，高12AA，求（1）异面直线BD与1AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四面体11ABDC的体积江苏省沙溪高级中学高二（10）班李凌高二文科数学辅导系列一23.（2011年高考北京卷第17题）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.第2讲圆锥曲线专题2011.12.101.（2011年上海高考文科第22题）已知椭圆222:1xCym（常数1m），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为(2,0)（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若3m，求PA的最大值与最小值；（3）若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围.江苏省沙溪高级中学高二（10）班李凌高二文科数学辅导系列一32．（2011年高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k0，求证：PA⊥PB3.（2011年高考文科数学陕西卷第17题）设椭圆C:222210xyabab过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标NMPAxyBC江苏省沙溪高级中学高二（10）班李凌高二文科数学辅导系列一4第3讲圆专题2011.12.141.（2011年四川卷文科第21题）过点C(0，1)的椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆与x轴交于两点(,0)Aa、(,0)Aa，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：OPOQ为定值．2.（2011年绵阳实验高中2010级高考模拟考试数学理科第21题）已知动圆P过点)0,2(N并且与圆4)2(:22yxM相外切，动圆P圆心的轨迹为W，过点N的直线与轨迹W交于BA,两点。(Ⅰ)求轨迹W的方程；江苏省沙溪高级中学高二（10）班李凌高二文科数学辅导系列一5参考答案与评分标准1.（本题12分）解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而22221152().221115.224AGACCGAGCDACDFCDAGDFAC由得由2213,3,.22ABCRtABCABACBCSABBC中故四面体ABCD的体积15.38ABCVSDF（II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。由（I）知DF⊥平面ABC。由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。在2222157,2(),44RtAFDAFADDF中在RtABC中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以7.8AFBCEFAC在Rt△DEF中，215tan.7DFDEFEF解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，—1，0），C（0，1，0）。设点B的坐标为11(,,0),,||1BxyABBCBC由，有2211221111111,(1)1,33,,22().11,22xyxyxxyy解得舍去江苏省沙溪高级中学高二（10）班李凌高二文科数学辅导系列一6即点B的坐标为31(,,0).22B又设点D的坐标为22(0,,),||1,||2,DyzCDAD由有222222222222(1)1,(1)4,33,,44().1515,44yzyzyyzz解得舍去即点D的坐标为315(0,,).44D从而△ACD边AC上的高为215||.4hz又2231||()(1)3,||1.22ABBC故四面体ABCD的体积115||||.328VABBCh（II）由（I）知33715(,,0),(0,,).2244ABAD设非零向量(,,)nlmn是平面ABD的法向量，则由nAB有330.22lm（1）由nAD，有7150.44mn（2）取1m，由（1），（2），可得7157153,,(3,1,).1515lnn即显然向量(0,0,1)k是平面ABC的法向量，从而江苏省沙溪高级中学高二（10）班李凌高二文科数学辅导系列一7715710915cos,,109493115491215109tan,,77109nknk故即二面角C—AB—D的平面角的正切值为215.72.解：⑴连1111,,,BDABBDAD，∵1111//,BDBDABAD，∴异面直线BD与1AB所成角为11ABD，记11ABD，222111111110cos210ABBDADABBD∴异面直线BD与1AB所成角为10arccos10。⑵连11,,ACCBCD，则所求四面体的体积11111111242433ABCDABCDCBCDVVV。3.（略）第2讲1.解：⑴2m，椭圆方程为2214xy，413c∴左、右焦点坐标为(3,0),(3,0)。⑵3m，椭圆方程为2219xy，设(,)Pxy，则222222891||(2)(2)1()(33)9942xPAxyxxx∴94x时min2||2PA；3x时max||5PA。⑶设动点(,)Pxy，则DCBAD1C1B1A1江苏省沙溪高级中学高二（10）班李凌高二文科数学辅导系列一8222222222222124||(2)(2)1()5()11xmmmPAxyxxmxmmmmm∵当xm时，||PA取最小值，且2210mm，∴2221mmm且1m解得112m。2.（1）2分之根号2.（2）3分之2根号2.（3）略.3.（本小题满分12分）设椭圆C:222210xyabab过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标解（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得2161b∴b=4又35cea得222925aba即2169125a，∴a=5∴C的方程为2212516xy（Ⅱ）过点3,0且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与Ｃ的交点为Ａ11,xy，Ｂ22,xy，将直线方程435yx代入Ｃ的方程，得22312525xx，即2380xx，解得13412x，23412x，江苏省沙溪高级中学高二（10）班李凌高二文科数学辅导系列一9AB的中点坐标12322xxx，1212266255yyyxx，即中点为36,25。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。第3讲本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．1.解：（Ⅰ）由已知得31,2cba，解得2a，所以椭圆方程为2214xy．椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l的方程为313yx，代入椭圆方程得27830xx，解得12830,7xx，代入直线l的方程得1211,7yy，所以831(,)77D，故2283116||(0)(1)777CD．（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为11(0)2ykxkk且．代入椭圆方程得22(41)80kxkx．解得12280,41kxxk，代入直线l的方程得2122141,41kyyk，所以D点的坐标为222814(,)4141kkkk．又直线AC的方程为12xy，又直线BD的方程为12(2)24kyxk，联立得4,21.xkyk因此(4,21)Qkk，又1(,0)Pk．所以1(,0)(4,21)4OPOQkkk．故OPOQ为定值．2.（Ⅰ）解：2,2PNPMPNPM，P的轨迹为双曲线的右支，1322yx………………………4分江苏省沙溪高级中学高二（10）班李凌高二文科数学辅导系列一10（Ⅱ）设)2(:xkyAB，由)2(1322xkyyx得0344)3(2222kxkxk由图知3k或3k…………………………6分设),(),,(2211yxByxA334,3422212221kkxxkkxx，由NBAN2得6221xx，解得3182,3182222221kkxkkx，334)3(324422224kkkk得35k。………………8分83521xx，又,427)1(,221xxeABe827r…………………10分圆心到直线21x的距离为rxxd162721221，圆与直线相交………………12分