高二数学椭圆

高二数学椭圆1.椭圆定义我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。2.椭圆的标准方程：形式一：说明：此方程表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2形式二：说明：①此方程表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是F1(0，-c)，F2(0，c)，其中c2=a2-b2.②两种形式中，总有ab0；③两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上；④a，b，c始终满足c2=a2-b2；⑤遇到形如Ax2+By2=C，只要A、B、C同号，且A≠B就是椭圆方程，推导：建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合。设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是(-c，0)，(c，0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.由椭圆定义，椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}因为所以得：整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)由椭圆的定义可知：2a2c，即ac，故a2-c20令a2-c2=b2，其中b0，代入上式整理得：3.椭圆的性质由椭圆方程研究椭圆的性质(1)范围：从标准方程得出，即有-a≤x≤a,-b≤y≤b，可知椭圆落在x=±a，y=±b组成的矩形中(2)对称性：把方程中的x换成-x方程不变，图象关于y轴对称，y换成-y方程不变，图象关于x轴对称。把x，y同时换成-x，-y方程也不变，图象关于原点对称。如果曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称和截距。(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。在椭圆的方程里，令y=0得x=±a，因此椭圆和x轴有两个交点A1(-a，0)，A2(a，0)，它们是椭圆的顶点。令x=0得y=±b，因此椭圆和y轴有两个交B1(0，-b)，B2(0，b)，它们也是椭圆的顶点。因此椭圆共有四个顶点：A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)加两焦点F1(-c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。长分别为2a，2ba，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。(4)离心率：发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同。这种扁平性质由什么来决定呢？定义式：，范围：0e1，考察椭圆形状与e的关系。e→0，c→0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e=0时的特例。e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为椭圆在e=1时的特例。4.椭圆的第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。椭圆的准线方程：对于，相对于左焦点F1(-c,0)对应着左准线l1：；相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2：，相对于下焦点F1(0，-c)对应着下准线：l1：；相对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2：.准线的位置关系：焦点到准线的距离其上任意点P(x，y)到准线的距离；(分情况讨论)点评：(1)从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式。(2)椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称。5.焦半径公式设M(x0，y0)是椭圆的一点r1和r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，那么(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a-ex0，其中e是离心率。推导：同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：6.参数方程问题：如图，以原点O为圆心，分别以a，b(ab0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作NA⊥OX垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程。解答：设M的坐标为(x，y)，∠NOA=φ，取φ为参数，那么也就是，这就是所求点M的轨迹的参数方程，将发现它可化为，说明M的轨迹是椭圆。椭圆的参数方程，注意：φ角不是角∠NOM本周例题：例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0,2)，并且椭圆经过点解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4,∴b2=a2-c2=52-42=9所以所求椭圆的标准方程为(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知：又c=2，∴b2=a2-c2=6所以所求椭圆方程为例2已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单。在右图中，由△ABC的周长等于16，|BC|=6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即|AB|+|AC|=16-6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合。由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，有|AB|+|AC|=10，即点A的轨迹是椭圆，且2c=6，2a=16-6=10，∴c=3,a=5,b2=52-32=16但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是说明：求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，就在所得方程后注明限制条件；例3如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，求线段PP'中点M的轨迹。解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x=x0，因为P(x0，y0)在圆x2+y2=4上，所以①将x0=x，y0=2y代入方程①得x2+4y2=4即所以点M的轨迹是一个椭圆。(如图)说明：①本题在求点M(x，y)的轨迹方程时，不是直接建立关于x，y之间关系的方程，而是先寻找x，y与中间变量x0，y0之间的关系，利用已知关于x0，y0之间关系的方程，得到关于x，y之间关系的方程。这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法。②如果求得点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆。③由本题结论可以看到，将圆按照某个方程均匀地压缩(拉长)，可以得到椭圆。例4已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程。解：把已知椭圆方程变为∵a2=25,b2=16从而焦点F的坐标为(0,3)，设点P坐标为(x,y)，Q点的坐标为(x1，y1)则①由P分所成比为2，得∴x1=3x，y1=3y-6代入①得：225x2+144y2-576y+176=0例5求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标解：把已知方程化成标准方程因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a=10，2b=8，离心率，两个焦点分别为F1(-3,0)，F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(-5,0)，A2(5,0)，B1(0，-4)，B2(0，4)例6椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离。解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为10e=8再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20-8=12例7椭圆，其上一点P(3，y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程。解：由椭圆的焦半径公式，得所求椭圆方程为例8已知椭圆上的点P(x，y)，求的取值范围。解：例9已知椭圆与x轴的正半轴交于A，0是原点，若椭圆上存在一点M，使MA⊥MO，求椭圆离心率的取值范围。解：A(a,0)，设M点的坐标为，由MA⊥MO得化简得所以本周练习题：1.已知椭圆的一个焦点将长轴分为两段，求其离心率。解：由题意，2.求下列椭圆的焦点坐标与准线方程(1)(2)2x2+y2=8答案：(1)焦点坐标F1(-8,0)，F2(8,0)；准线方程(2)焦点坐标F1(0，-2)，F2(0,2)；准线方程3.已知椭圆的两条准线方程为y=±9，离心率为，求此椭圆的标准方程。答案：4.椭圆，上不同三点A(x1，y1)，，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证：x1+x2=8证明：由题意，得5.求椭圆的内接矩形面积的最大值。答案：