高二数学选修12-1-1椭圆及其标准方程

2.1.1椭圆及其标准方程一、选择题1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a0)，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．线段C．椭圆、线段或不存在D．不存在[答案]C[解析]当a|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为椭圆；当a＝|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为线段；当a|F1F2|＝6时，动点P的轨迹不存在．2．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是()A．210B.10C.2D．22[答案]D[解析]椭圆方程2x2＋3y2＝12可化为：x26＋y24＝1，a2＝6，b2＝4，c2＝6－4＝2，∴2c＝22.3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k的值为()A．－1B．1C.5D．－5[答案]B[解析]椭圆方程5x2＋ky2＝5可化为：x2＋y25k＝1，又∵焦点是(0,2)，∴a2＝5k，b2＝1，c2＝5k－1＝4，∴k＝1.4．已知方程x225－m＋y2m＋9＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()A．－9m25B．8m25C．16m25D．m8[答案]B[解析]由题意得m＋9025－m0m＋925－m，解得8m25.5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mn0)的焦点坐标是()A．(0，±m－n)B．(±m－n，0)C．(0，±n－m)D．(±n－m，0)[答案]C[解析]椭圆方程mx2＋ny2＋mn＝0可化为x2－n＋y2－m＝1，∵mn0，∴－m－n，椭圆的焦点在y轴上，排除B、D，又nm，∴m－n无意义，排除A，故选C.6．若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1(y≠0)C.x216＋y29＝1(y≠0)D.x225＋y29＝1(y≠0)[答案]D[解析]|AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D.7．点P为椭圆x25＋y24＝1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为()A.±152，1B.152，±1C.152，1D.±152，±1[答案]D[解析]S△PF1F2＝12×|F1F2|·|yP|＝12×2×|yP|＝1，∴|yP|＝1，yP＝±1，代入椭圆方程得，xP＝±152.8．已知椭圆过点P35，－4和点Q－45，3，则此椭圆的标准方程是()A.y225＋x2＝1B.x225＋y2＝1或x2＋y225＝1C.x225＋y2＝1D．以上都不对[答案]A[解析]设椭圆方程为：Ax2＋By2＝1(A0，B0)由题意得925A＋16B＝11625A＋9B＝1，解得A＝1B＝125.9．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．射线D．直线[答案]A[解析]∵|PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a，又∵F1、P、Q三点共线，∴|F1P|＋|PQ|＝|F1Q|＝2a.即Q在以F1为圆心以2a为半径的圆上．10．AB为过椭圆x2a2＋y2b2＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是()A．b2B．bcC．abD．ac[答案]B[解析]S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝12|OF|·|yA－yB|，当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.∴△ABF面积的最大值为bc.二、填空题11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案]x24＋y23＝1[解析]由题意可得a＋c＝3a－c＝1，∴a＝2c＝1，故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.12．过点(－3,2)且与x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆方程是________．[答案]x215＋y210＝1[解析]因为焦点坐标为(±5，0)，设方程为x2a2＋y2a2－5＝1，将(－3,2)代入方程可得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15，故方程为x215＋y210＝1.13．(2009·上海文，12)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[答案]3[解析]本题考查椭圆的定义及整体代换的数学思想．由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，又∵PF1→⊥PF2→，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2，S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝b2＝9，∴b＝3.14．椭圆x212＋y23＝1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的____________倍．[答案]7[解析]如图，PF1的中点M在y轴上，O为F1F2的中点，∴OM∥PF2，∴PF2⊥x轴，|PF2|＝b2a＝32，|PF1|＋|PF2|＝2a＝43，∴|PF1|＝43－32＝723＝7|PF2|.三、解答题15．已知F1、F2是椭圆x2100＋y264＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝π3，求△F1PF2的面积．[解析]设|PF1|＝m，|PF2|＝n.根据椭圆定义有m＋n＝20，又c＝100－64＝6，∴在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncosπ3＝122，∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，∴mn＝2563，∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝12×2563×32＝6433.16．已知点P(x0，y0)是椭圆x28＋y24＝1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程．[解析]设M(x，y)，则x0＋62＝x，y0＋02＝y，∴x0＝2x－6，y0＝2y.∵点P在椭圆x28＋y24＝1上，∴x208＋y204＝1.把x0＝2x－6，y0＝2y代入x208＋y204＝1，得(2x－6)28＋(2y)24＝1，即(x－3)22＋y2＝1为所求．17．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，6)的椭圆的标准方程．[解析]由9x2＋5y2＝45，得y29＋x25＝1.其焦点F1(0,2)、F2(0，－2)．设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1.又∵点M(2，6)在椭圆上，∴6a2＋4b2＝1①又a2－b2＝4②解①②得a2＝12，b2＝8.故所求椭圆方程为y212＋x28＝1.18．若长度为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M在AB上且AM→＝2MB→，求点M的轨迹方程．[解析]设A(x0,0)、B(0，y0)、M(x，y)，∵AM→＝2MB→，∴x＝x0＋2×01＋2，y＝0＋2y01＋2.∴x0＝3x，y0＝32y.∵|AB|＝8，∴x20＋y20＝8.∴x20＋y20＝64.把x0＝3x，y0＝32y代入x20＋y20＝64，得(3x)2＋3y22＝64，即964x2＋9256y2＝1为点M的轨迹方程．