高二文科数学选修五恒成立等问题

1高二文科数学选修五恒成立等问题2010.11.12恒成立问题能够很好的考察函数不等式等知识以及转化化归等数学思想，因此备受命题者青睐。策略是确定主元，借助函数单调性解决。例1对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。例2不等式sin2x＋acosx＋a21＋cosx对一切xR恒成立，求负数a的取值范围。例3．已知数列{}na中，*65()nannN，设13nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m。例4、设cancbbaNncba11,,且恒成立,求n的最大值。例5、不等式(x-1)2logax在x(1,2)上恒成立，求a的取值范围。练习（1）设)(xf11112|2|2xxxx则)]21([ff（）A．21B．134C．59D．4125（2）对于不等式21130mxmx................(*)（1）当|x|≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围；（2）当|m|≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围.（3）已知)(xf的定义域是]1,1[，则)(log21xf的定义域是（）A．]2,21[B．]2,0(C．),2[D．)21,0(2（4）若函数)(xf是定义在R上的偶函数，在]0,(上是减函数，且0)2(f，则使得0)(xf的x的取值范围是（）A．)2,(B．),2(C．（－2，2）D．),2()2,(（5）若不等式|x-a|+|x-1|2对xR恒成立，则实数a的取值范围是_____________。（6）已知函数))((Rxxfy满足)1()1(xfxf，且]1,1[x时，2)(xxf，则函数)(xfy与xy5log的图象的交点个数为()A．0个B．2个C．3个D．4个（7）实系数方程220xaxb的两根为1x、2x，且12012xx则21ba的取值范围是（）A.1(,1)4B.1(,1)2C.11(,)24D.11(,)22（8）设f(x)是R上的函数，且f(－x)=－f(x)，当x∈［0,+∞)时，f(x)=x(1+),那么当x∈(－∞,0)时，f(x)=________；（9）函数21432xxxy的定义域是（10）若不等式对x22201,4axx对x恒成立，求实数a的取值范围。（11）若函数213ln()1xyxx的最大值与最小值分别为M,m，则M+m=（12）已知函数)0(22)(2abaxaxxf，在区间3,2上有最大值5，最小值2。（1）求a，b的值。（2）若42,)2()()(,1在xxfxgbm上单调，求m的取值范围。(13)已知a0，函数2fxaxbx，（1）当b1，证明对任意的x∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是:b-1≤a≤2；（2）当0b≤1，讨论：对任意的x∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。（14）①若不等式21log0,2axxx对对x（0,）恒成立，则实数a的取值范围是。②若不等式220,3,3xkxx对恒成立，则实数k的取值范围是。3*（16）.对于定义域为0,1的函数()fx，如果同时满足以下三条：①对任意的0,1x，总有()0fx；②(1)1f；③若12120,0,1xxxx，都有1212()()()fxxfxfx成立，则称函数()fx为理想函数．(1)若函数()fx为理想函数，求(0)f的值；(2)判断函数()21xgx])1,0[(x是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数()fx为理想函数，假定00,1x，使得0()0,1fx，且00(())ffxx，求证00()fxx．参考答案4一、选择题（每小题5分，共50分）题号1234567答案DBACCDA二、填空题：（每小题5分，共20分）8．)1(3xx9．),4[]1,3()3,(10．]1,(11．612.。(12分)解析：（1）abxaxf2)1()(2--------------------1分①当0a时，3,2)(在xf上为增函数故01224452695)2(2)3(babaabaaff----------------4分②当3,2)(0在时，xfa上为减函数故31524422692)2(2)3(babaabaaff--------------7分（2）011bab即22)(2xxxf--------------------8分2)22()2(22)(22xxxxxxgmm------------9分分）（或分）（分）（或分）（1621221422212222mmmm-------------11分即62log1mm或------------12分13．(12分)解:（1）①若1,012aa即，1）当a=1时，6)(xf，定义域为R，适合；2）当a=－1时，66)(xxf，定义域不为R，不合；②若6)1(3)1()(,01222xaxaxga为二次函数，)(xf定义域为R，Rxxg对0)(恒成立，11150)511)(1(110)1(24)1(901222aaaaaaa；综合①、②得a的取值范围]1,115[------------6分（2）命题等价于不等式06)1(3)1(22xaxa的解集为[－2，1]，显然012a20112xa且、12x是方程06)1(3)1(22xaxa的两根，540231121611)1(31122221221aaaaaaxxaaxxaa或或，解得a的值为a=2.------12分14(14分)、(1)①11110ffff又fx在(0，+∞)上是增函数，所以fx0②由xxffyfyfxyy得xffxfyy-----7分(2)∵2115525fff125250fxffxfx且fx在(0，+∞)上是增函数1020150xxxx解得1049x-------------14分15.(14分)奎屯王新敞新疆函数定义域为11xx)1,1(…………………………………2分（Ⅰ）证明：)()(),1,1(,bfafbabbaa11lg11lg)1)(1()1)(1(lgbaba，…4分baabbaababbaabbaabbaf11lg1111lg1)1)(1()1)(1(lgbaba，所以)()(bfafabbaf1.……………………………………7分（Ⅱ）)()(),1,1(xfxfx0lg11111lg11lg11lgxxxxxxxx即)()(xfxf，所以fx是奇函数奎屯王新敞新疆……………………………14分16(14分)解：（1）取021xx可得0)0()0()0()0(ffff．---------------1分6又由条件①0)0(f，故0)0(f．---------------3分（2）显然12)(xxg在[0，1]满足条件①0)(xg；---------------4分也满足条件②1)1(g．---------5分若01x，02x，121xx，则)]12()12[(12)]()([)(21212121xxxxxgxgxxg0)12)(12(1222122121xxxxxx，即满足条件③，---------------8分故)(xg理想函数．---------------9分（3）由条件③知，任给m、n[0，1]，当nm时，由nm知mn[0，1]，)()()()()(mfmfmnfmmnfnf．--------------11分若)(00xfx，则000)]([)(xxffxf，前后矛盾.若)(00xfx，则000)]([)(xxffxf，前后矛盾．--------------14分例1、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：多元不等式问题求解关键在于确定哪个量为主元。此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而若将p定位主元，则可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。解：不等式转化为(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原题转化为设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1＞0在[-2，2]上恒成立易得0)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或∴x-1或x3.策略二、转化为二次函数，利用实根分布解决。例2、不等式sin2x＋acosx＋a21＋cosx对一切xR恒成立，求负数a的取值范围。解：原不等即cos2x＋（1－a）cosx－a20令cosx=t，由xR知t[-1，1]，7设f(t)=t2＋（1－a）t－a2则原题转化为f(t)=t2＋（1－a）t－a20在t[-1，1]上恒成立易得0)1(1)1(011)1(022aafaafa10120aaaaa或或a-2故所求的a的范围为(-,-2].策略三、分离变量，借助不等式性质解决。例3．已知数列{}na中，*65()nannN，设13nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m。（06湖北卷）分析：nT＜20m恒成立=20m＞nTmax问题转化为求nT的最大值。若求出nT的最大值，则问题迎刃而解。解：依题可知131111(65)6(1)526561nnnbaannnn，故111111111...277136561nnbnnT=111261n。易知11112612n∴要使111261n﹤20mnN恒成立，必须满足12≤20m，即m≥10。例4、设cancbbaNncba11,,且恒成立,求n的最大值。分析:由于不等式等价于ncbbaca)11)((要使原不等式恒成立,就要使)11)((cbbaca的最小值不小于n.8【解】:∵cba∴211()()()()()()()()bcabacacacabbcabbcabbc=.4))(())((2))(()()(22cbbacbbacbbacbba∴又,4n∵nNn则的最大值4.策略四、数形结合，直观求解。例5、不等式(x-1)2logax在x(1,2)上恒成立，求a的取值范围。分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。解：设y1=(x-1)2,y2=