空间向量与立体几何高考冲刺总复习(文科)

1空间向量与立体几何高考冲刺总复习（文科）【考点梳理】考点一、空间几何体的表面积和体积1、旋转体的表面积名称图形表面积圆柱S=2πr(r+l)圆锥S=πr(r+l)圆台2球2、几何体的体积公式（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=Sh;（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=13Sh;（3）设棱（圆）台的上、下底面积分别为S’，S，高为h，则体积V=13（'S+'SS+S）h;（4）设球半径为R，则球的体积V=43π3R。要点诠释：1、对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决。2、重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．3、要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．考点二：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段表示，A叫作起点，B叫作终点；一种是用小写字母a（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．向量的夹角：过空间任意一点O作向量ab,的相等向量OA和OB，则AOB叫作向量ab,的夹角，记作，ab，规定0，ab．如图：ABa||AB||a3零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．单位向量：长度为1的空间向量，即．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．平行于记作，此时．ab，=0或ab，=．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关．只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（3）对于任意一个非零向量，我们把aa叫作向量的单位向量，记作0a．0a与同向．（4）当ab，=0或时，向量平行于，记作；当ab，=2时，向量ab，垂直，记作ab．考点三：空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式若，，则①；②；||1aabba//abababaaaabba//111(,,)Axyz222(,,)Bxyz222111212121(,,)(,,)(,,)ABOBOAxyzxyzxxyyzz2222212121||()()()ABABxxyyzz4③AB的中点坐标为121212222x+xy+yz+z，，．空间向量运算的的坐标运算设，，则①；②；③；④；⑤222111aaaxyz，222222bbbxyz；⑥121212222222111222cos00xxyyzzababababxyzxyz，，．空间向量平行和垂直的条件若，，则①，，；②．要点诠释：（1）空间任一点P的坐标的确定：过P作面xOy的垂线，垂足为'P，在面xOy中，过'P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为AC、，则|'|||||xPCyAPzPP，，＇＇．如图：（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是．（３）与任意空间向量平行或垂直．111(,,)axyz222(,,)bxyz121212(,,)abxxyyzz121212(,,)abxxyyzz111(,,)()axyzR121212abxxyyzz111(,,)axyz222(,,)bxyz12//ababxx12yy12()zzR111222xyzxyz222(0)xyz12121200ababxxyyzzabab|a||b|cosabcosab|a||b|[0,]05考点四：用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行（a//b）a//b（ab，分别为直线ab，的方向向量）线线垂直（ab）ab（ab，分别为直线ab，的方向向量）线面平行（l//）an，即0=an（a是直线的方向向量，n是平面的法向量）．线面垂直（l）a//n（a是直线的方向向量，n是平面的法向量）面面平行（//）（uv，分别是平面，的法向量）ll//uv6面面垂直（）uv，即0=uv（u，v分别是平面，的法向量）要点诠释：（１）直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则为直线l的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．（２）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量．一个平面的法向量不是唯一的．考点五：用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角（A，C是直线a上不同的两点，B，D是直线b上不同的两点）直线和平面的夹角（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）ABABllaaa||cos||||ACBDACBD||sin|cos|||||auaulauau7二面角cos（平面与的法向量分别为1n和2n，平面与的夹角为）要点诠释：①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。考点六：用向量方法求距离图示向量证明方法点到平面的距离PAd=AA'=nn（n为平面的法向量）与平面平行的直线到平面的距离PAd=AA'=nn（n是平面的公共法向量）两平行平面间的距离PAd=AA'=nn（n是平面，的一个公共法向量）要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择．1n2n1n2n12,nn1n2n1n2n12,nn8（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．【典型例题】类型一、空间几何体的三视图例1若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于。【答案】326【解析】由正视图可知该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱。其表面积为3261234432【变式1】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，此几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，9底面ABCD是边长为20的正方形，侧面PCD垂直于底面ABCD，△PCD的高为20，故这个几何体的体积为。【变式2】（2016-广西高考-10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365（B）54185（C）90（D）81【变式3】（2017广西高考-9）.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.B.34C.2D.4【变式4】（2017广西高考—10）.在正方体1111ABCDABCD中，E为棱CD的中点，则（）A.11AEDCB.1AEBDC.11AEBCD.1AEAC例2(2015—河南高考)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若几何体的表面积为16+20则r=()A.1B.2C.4D.810【思路点拨】三视图直观图（圆柱与球的组合体）圆柱的底面半径、高及球半径代入公式求解。【答案】B【解析】有几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体时一个半球拼接半个圆柱其表面积为：22222111142222542222rrrrrrrrr22541620rr解得r=2,故选B.举一反三：【变式1】(2015福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A.822B.1122C.1422D.15【答案】B【解析】根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面是梯形上底1，下底2，高为1所以侧面为422822底面为1321122故几何体的表面积为3822211222.故选B.【变式2】（2014广西高考-10）.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．814B．16C．9D．274【变式3】（2016-广西高考-11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（A）4π（B）9π2（C）6π（D）32π311类型二：空间向量的直角坐标运算例3.设a＝(1，5，-1)，b＝(-2，3，5)．(1)当(ab)∥(3ab)时，求的值；(2)当(a-3b)⊥(a+b)时，求的值．【思路点拨】根据空间向量平行与垂直条件及直角坐标的相关公式进行运算．【解析】(1)∵a(1，5，-1)，b(-2，3，5)，∴3ab(1，5，-1)-3(-2，3，5)＝(1，5，-1)-(-6，9，15)＝(7，-4，-16)．ab(1，5，-1)+(-2，3，5)＝(，5，)+(-2，3，5)＝(2，53，5)．∵()ab∥(3ab)，∴25357416，解得13．(2)由(3ab)⊥(ab)(7，-4，-16)·(2，53，5)＝07(2)4(53)16(5)0，解得1063．举一反三：【变式1】（2015秋齐齐哈尔校级期中）已知(221)(101)(314)ABC，－，，，，，，－，，则向量AB与AC夹角的余弦值为________.【答案】5555【变式2】空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，则cosOABC，等于()A．12B．22C．12D．0【答案】D设OAa，OBb，OCc，则||||bc，所以()OABCacb11||||||||022acab．所以OA⊥BC．所以cos0OABC，．12【变式3】与向量=1,1,0a平行的单位向量的坐标为（）A.(1,1,0)B.(0,1,0)C.(1,1,1)D.22(,,0)22或22(,,0)22．【答案】D类型三、平行与垂直关系例4（2015江苏高考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．【思路点拨】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．【证明】（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，13所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为