高三一轮复习导数及其应用菁优网

1高三一轮复习：导数及其应用一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．2．（5分）（2010•湖北模拟）函数f（x）=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣3][﹣，+∞）D．[﹣3，]3．（5分）（理）设函数等于（）A．6B．2C．0D．﹣64．（5分）曲线y=﹣x2+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+25．（5分）已知函数f（x）对于任意的x∈R，导函数f′（x）都存在，且满足，则必有（）A．f（0）+f（2）＞2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）＜2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）6．（5分）若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，2）D．[，2）7．（5分）若（2x﹣3x2）dx=0，则k=（）A．1B．0C．0或1D．以上都不对8．（5分）如果物体做S（t）=2（1﹣t）2的直线运动，则其在t=4s时的瞬时速度为（）A．12B．﹣12C．4D．﹣49．（5分）（2012•黄州区模拟）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x﹣10234f（x）12020当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．510．（5分）如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是（）2A．B．C．D．11．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=+lnx则（）A．x=为f（x）的极大值点B．x=为f（x）的极小值点C．x=2为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点12．（5分）函数y=cos2x在点处的切线方程是（）A．4x+2y+π=0B．4x﹣2y+π=0C．4x﹣2y﹣π=0D．4x+2y﹣π=0二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．（5分）（2011•江西模拟）|x﹣1|dx=_________．14．（5分）设曲线在点（1，1）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=_________．15．（5分）（2014•开封二模）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为_________．16．（5分）e|x|dx=_________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（2011•西城区一模）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）18．某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》、《荷塘月色》等10首创新经典歌曲．该公司计划用x（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y（百万元）与（3﹣x）x2成正比的关系，当x=2时y=32．又有∈（0，t]，其中t是常数，且t∈（0，2]．（Ⅰ）设y=f（x），求其表达式，定义域（用t表示）；（Ⅱ）求总利润y的最大值及相应的x的值．319．设函数g（x）=﹣bx（a，b∈R），在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为﹣2和4，求f（x）的表达式；（2）若g（x）在区间[﹣1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．20．已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（1）求a的值及λ的范围．（2）讨论关于x的方程=x2﹣2ex+m的根的个数．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若k＞0且函数f（x）在区间（k，k+）上存在极值，求实数k的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥2时，不等式f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．422．已知f（x）=2ax+4lnx在x=1与x=都取得极值．（1）求a、b；（2）若对x∈[，e]时，f（x）≥c取值范围．5一轮复习：导数及其应用参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．考点：导数的几何意义．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．解答：解：因为y′===，∵，∴ex+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选D．6点评：本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．2．（5分）（2010•湖北模拟）函数f（x）=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣3][﹣，+∞）D．[﹣3，]考点：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有专题：计算题；导数的综合应用．分析：求导函数，f（x）在[1，3]上为单调函数，则f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立，利用分离参数法，借助于导数，确定函数的最值，即可求实数a的取值范围．解答：解：求导数可得：f′（x）=x2+2ax+5∵f（x）在[1，3]上为单调函数，∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立．令f′（x）=0，即x2+2ax+5=0，则a=设g（x）=，则g′（x）=令g′（x）=0得：x=或x=﹣（舍去）∴当1≤x≤时，g′（x）≥0，当≤x≤3时，g′（x）≤0∴g（x）在（1，）上递增，在（，3）上递减，∵g（1）=﹣3g（3）=﹣，g（）=﹣∴g（x）的最大值为g（）=﹣，最小7值为g（1）=﹣3∴当f′（x）≤0时，a≤g（x）≤g（1）=﹣3当f′（x）≥0时，a≥g（x）≥g（）=﹣∴a≤﹣3或a≥﹣故选C．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，分离参数，求函数的最值是关键．3．（5分）（理）设函数等于（）A．6B．2C．0D．﹣6考点：极限及其运算；导数的运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由f′（x）=2（x+1）（x﹣2）+（x+1）2=3（x+1）（x﹣1），知=，由此能求出其结果．解答：解：∵f′（x）=2（x+1）（x﹣2）+（x+1）2=3（x+1）（x﹣1），∴==．故选D．8点评：本题考查导数的求法和函数的极限的求法，解题时要认真审题，是基础题．4．（5分）曲线y=﹣x2+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导函数，然后求出函数在x=2时的导数，直接利用点斜式写出切线方程．解答：解：由y=﹣x2+1，得y′=﹣2x，所以y′|x=1=﹣2，则线y=﹣x2+1在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=﹣2（x﹣1），即y=﹣2x+2．故选D．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，解答时需注意是求的在某点的切线方程还是过某点的切线方程，此处容易出错，此题是基础题，也是易错题．5．（5分）已知函数f（x）对于任意的x∈R，导函数f′（x）都存在，且满足，则必有（）A．f（0）+f（2）＞2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）＜2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）9考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．菁优网版权所有专题：导数的综合应用．分析：先根据，可得函数f（x）的单调性，从而求出函数f（x）在x=1处取最小值f（1），则f（0）＞f（1），f（2）＞f（1），根据同向不等式相加可得结论．解答：解：∵，∴当x＜1时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，即函数f（x）在x=1处取最小值f（1），∴f（0）＞f（1），f（2）＞f（1），则将两式相加得f（0）+f（2）＞2f（1）．故选A．10点评：本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的单调性．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．解决本题的关键是根据已知条件合理的构造函数，利用构造的新函数进行解题．属于中档题．6．（5分）若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，2）D．[，2）考点：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有专题：常规题型．分析：先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内，建立不等关系，解之即可．11解答：解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又，由f'（x）=0，得．当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0据题意，，解得．故选B．点评：本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．7．（5分）若（2x﹣3x2）dx=0，则k=（）A．1B．0C．0或1D．以上都不对考点：定积分．菁优网版权所有专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的计算法则，得到关于k的一个方程，解得即可，注意k的值12解答：解：（2x﹣3x2）dx=（x2﹣x3）|=k2﹣k3=0，∴k=0，k=1，故选：C点评：本题考查了定积分的计算，关键求出原函数，属于基础题．8．（5分）如果物体做S（t）=2（1﹣t）2的直线运动，则其在t=4s时的瞬时速度为（）A．12B．﹣12C．4D．﹣4考点：导数的运算．菁优网版权所有专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的物理意义，求函数的导数即可．解答：解：∵S（t）=2（1﹣t）2，∴S′（t）=﹣4（1﹣t），当t=4时，S′（4）=﹣4（1﹣4）=12，故选：A．点评：本题主要考查导数的计算，利用导数的无意义是解决本题的关键，比较基础．9．（5分）（2012•黄州区模拟）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x﹣10234f（x）12020当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．513考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有专题：数形结合；导数的概念及应用．分析：根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）﹣a的零点的个数．解答：解：根据导函数图象，可得1是函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个故选C．点评：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．10．（5分）如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是（）14A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．菁优网版权所有专题：计算题；导数的综合应用．分析：先确定积分区间，再求得