高三分段函数复习材料

1分段函数一、分段函数定义分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集。二、分段函数的考查点1、求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);xxfxxxx的定义域、值域.【解析】作图,利用“数形结合”易知()fx的定义域为[1,),值域为(1,3].练1、设函数)(2)(2Rxxxg，)(,)()(,4)()(xgxxxgxgxxxgxf，则)(xf的值域是（）A．),1(]0,49[B．),0[C．),49[D．),2(]0,49[2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1xxfxxx求12[()]ff.【解析】因为311222()|1|2f,所以312223214[()]()1()13fff.练2、定义在R上的函数)(xf满足)(xf=0),2()1(0),4(log2xxfxfxx，则)3(f的值为（）A．1-B.2-C.1D.23、给出函数)4()1()4()21()(xxfxxfx，则)3(log2f（）11o322-1yx-12A.823-B.111C.191D.2414、函数21sin(),10,(),0.xxxfxex,若21aff,则a的所有可能值为（）A.1B.22C.1，22D.1,223．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)xxfxxxxx的最大值.【解析】当0x时,max()(0)3fxf,当01x时,max()(1)4fxf,当1x时,5154x,综上有max()4fx.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中,函数()yfx和()ygx的图象关于直线yx对称,现将()ygx的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数()fx的表达式为（）222(10).()2(02)xxxAfxx222(10).()2(02)xxxBfxx222(12).()1(24)xxxCfxx226(12).()3(24)xxxDfxx【解析】当[2,0]x时,121yx,将其图象沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得解析式为1122(2)111yxx,所以()22([1,0])fxxx,当[0,1]x时,21yx,将其图象沿x轴向右平移2-12131o-2yx3个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得解析式2(2)1124yxx,所以12()2([0,2])fxxx,综上可得222(10)()2(02)xxxfxx,故选A.5．作分段函数的图像例5．函数|ln||1|xyex的图像大致是（）A11oyxByx11OCyxO11DyxO116．判断分段函数的奇偶性例6．判断函数22(1)(0)()(1)(0)xxxfxxxx的奇偶性.【解析】当0x时,0x,22()()(1)(1)()fxxxxxfx,当0x时，(0)(0)0ff,当0x,0x,22()()(1)(1)()fxxxxxfx因此,对于任意xR都有()()fxfx,所以()fx为偶函数.7．判断分段函数的单调性（考查具有隐含性，例如：与分段函数不等式有关的问题）例7．判断函数32(0)()(0)xxxfxxx的单调性.【解析】显然()fx连续.当0x时,'2()311fxx恒成立,所以()fx是单调递4增函数,当0x时,'()20fxx恒成立,()fx也是单调递增函数,所以()fx在R上是单调递增函数;或画图易知()fx在R上是单调递增函数.例8．写出函数()|12||2|fxxx的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)xxfxxxxx,画图易知单调减区间为12(,].练5、已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11[,)73（D）1[,1)76、设函数)0()(log)0(log)(212xxxxxf，若)()(afaf，则实数a的取值范围是（）A．)1,0()0,1(B．),1()1,(C．),1()0,1(D．)1,0()1,(8．解分段函数的不等式例9．设函数1221(0)()(0)xxfxxx,若0()1fx,则0x得取值范围是（）.(1,1)A.(1,)B.(,2)(0,)C.(,1)(1,)Dyx52o-1252xy1-115【解析1】首先画出()yfx和1y的大致图像,易知0()1fx时,所对应的0x的取值范围是(,1)(1,).【解析2】因为0()1fx,当00x时,0211x,解得01x,当00x时,1201x,解得01x,综上0x的取值范围是(,1)(1,).故选D.例10．设函数2(1)(1)()41(1)xxfxxx,则使得()1fx的自变量x的取值范围为（）A．(,2][0,10]B.(,2][0,1]C.(,2][1,10]D.[2,0][1,10]【解析】当1x时,2()1(1)120fxxxx或,所以21xx或0,当1x时,()14111310fxxxx,所以110x,综上所述,2x或010x,故选A项.练7、（2009天津卷）设函数0,60,64)(2xxxxxxf，则不等式)1()(fxf的解集是（）A.),3()1,3(B.),2()1,3(C.),3()1,1(D.)3,1()3,(8、设函数10221,0,()()1,0xxfxfxxx若，则0x的取值范围是（）A．)1,1(B．),1-(C．),0()2,(D．),1()1,(8．解分段函数的方程（包括函数零点问题）例11、设函数812(,1]()log(1,)xxfxxx,则满足方程1()4fx的x的值为【解析】若142x,则222x,得2(,1]x,所以2x（舍去）,若1814logx,则1481x,解得3(1,)x,所以3x即为所求.6练9、设)0)(1()0(3)(xxfxaxfx，若xxf)(有且仅有三个解，则实数a的取值范围是（）A．]2,1[B．2,C．,1D．1,10、函数2x+2x-3,x0x)=-2+lnx,x0f（的零点个数为()A．0B．1C．2D．311.函数2441()431xxfxxxx，，，的图象和函数2()loggxx的图象的交点个数是（）A．4B．3C．2D．1