高三寒假复习(函数部分)

函数复习一．填空题1．已知函数f（x）＝3－axa－1（a≠1），若a＞0，则f（x）的定义域是_________．2．设有两个命题，p：不等式︱x︱＋︱x＋1︱＞a的解集为R；q：函数f（x）＝log（7－3a）x在（0，＋∞）是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，那么实数a的取值范围是_________．3．设f（x）是R上的减函数，且f（0）＝3，f（3）＝－1，设P＝｛x︱︱f（x＋t）－1︱＜2｝，Q＝｛x︱f（x）＜－1｝，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是____________．4．已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；②若f（x＋2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；③函数y＝f（2＋x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称．其中正确的命题序号是_________．5．已知函数f（x）的定义域为｛x︱x∈R且x≠1｝，f（x＋1）为奇函数，当x＜1时，f（x）＝2x2－x＋1，则当x＞1时，f（x）的递减区间是___________．6．若函数f（x）＝mx4x－3（x≠34）在定义域内恒有f［f（x）］＝x，则m等于_____．7．已知函数f（x）＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为［1，＋∞），则a的取值集合为_____________．8．已知函数f（x），g（x）满足x∈R时，f′（x）＞g′（x），则x1＜x2时，则f（x1）－f（x2）___________g（x1）－g（x2）．（填＞、＜、＝）9．已知二次函数f（x）＝x2－2x＋6，设向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，12），c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a·b）＞f（c·d）的解集为___________．10．设函数f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为_________．11．已知函数f（x）＝x2－cosx，对于［－π2，π2］上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③｜x1｜＜｜x2｜．其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是______________．12．如果函数f（x）满足：对于任意的实数a，b都有f（a＋b）＝f（a）f（b），且f（1）＝2，则f（1）f（0）＋f（5）f（3）＋f（9）f（6）＋f（14）f（10）＋…＋f（1274）f（1225）＝______．13．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_________．14．已知函数f（x）＝｜x2－2ax＋b｜（x∈R），给出下列命题：①f（x）必是偶函数；②当f（0）＝f（2）时，f（x）的图象必关于直线x＝1对称；③若a2－b≤0，则f（x）在区面［a，＋∞）上是增函数；④f（x）有最大值｜a2－b｜．其中正确命题的序号是____________．二．解答题类型一：函数的图像与性质的综合应用。15．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2＋2x．（1）求函数g（x）的解析式；（2）解不等式g（x）≥f（x）－︱x－1︱；（3）若h（x）＝g（x）－λf（x）＋1在［－1，1］上是增函数，求实数λ的取值范围．16．设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m，n总有f（m＋n）＝f（m）f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）证明：f（0）＝1，且x＜0时，f（x）＞1；（2）证明：函数f（x）在R上单调递减；（3）设A＝｛（x，y）｜f（x2）f（y2）＞f（1）｝，B＝｛（x，y）｜f（ax－y＋2）＝1，a∈R｝，若A∩B＝，确定a的取值范围．类型二：含参变量的方程或不等式求取值范围。17．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．18．已知对于x的所有实数值，二次函数f（x）＝x2－4ax＋2a＋12（a∈R）的值都是非负的，求关于x的方程xa＋2＝｜a－1｜＋2的根的取值范围．类型三：二次函数的性质及三个“二次”之间的关系。19．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c．（1）若a＞b＞c且f（1）＝0，是否存在实数m，使得当f（m）＝－a成立时，f（m＋3）为正数？若存在，则证明你的结论；若不存在，则说明理由．（2）若－∞＜x1＜x2＜＋∞，f（x1）≠f（x2）且方程f（x）＝12［f（x1）＋f（x2）］有两个不相等的实数根，求证：必有一实数根存x1与x2之间．20．某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：①y与a－x和x的乘积成正比；②x＝a2时，y＝a2；③0≤x2（a－x）≤t，其中t为常数，且t∈［0，1］．（1）设y＝f（x），求出f（x）的表达式，并求出y＝f（x）的定义域；（2）求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x值．函数复习参考答案一．填空题1．已知函数f（x）＝3－axa－1（a≠1），若a＞0，则f（x）的定义域是_________．（－∞，3a］2．设有两个命题，p：不等式︱x︱＋︱x＋1︱＞a的解集为R；q：函数f（x）＝log（7－3a）x在（0，＋∞）是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，那么实数a的取值范围是_________．［1，2）3．设f（x）是R上的减函数，且f（0）＝3，f（3）＝－1，设P＝｛x︱︱f（x＋t）－1︱＜2｝，Q＝｛x︱f（x）＜－1｝，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是____________．t≤－34．已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；②若f（x＋2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；③函数y＝f（2＋x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称．其中正确的命题序号是_________．④5．已知函数f（x）的定义域为｛x︱x∈R且x≠1｝，f（x＋1）为奇函数，当x＜1时，f（x）＝2x2－x＋1，则当x＞1时，f（x）的递减区间是___________．［74，＋∞）6．若函数f（x）＝mx4x－3（x≠34）在定义域内恒有f［f（x）］＝x，则m等于_____．37．已知函数f（x）＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为［1，＋∞），则a的取值集合为_____________．｛－1，3｝8．已知函数f（x），g（x）满足x∈R时，f′（x）＞g′（x），则x1＜x2时，则f（x1）－f（x2）___________g（x1）－g（x2）．（填＞、＜、＝）＜9．已知二次函数f（x）＝x2－2x＋6，设向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，12），c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a·b）＞f（c·d）的解集为___________．解：a·b＝2sin2x＋1≥1，c·d＝2cos2x＋1≥1，f（x）图象关于x＝1对称，∴f（x）在（1，＋∞）内单调递增．由f（a·b）＞f（c·d）a·b＞c·d，即2sin2x＋1＞2cos2x＋1，又∵x∈［0，π］，∴x∈（π4，3π4）．故不等式的解集为（π4，3π4）．10．设函数f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为_________．311．已知函数f（x）＝x2－cosx，对于［－π2，π2］上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③｜x1｜＜｜x2｜．其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是______________．②12．如果函数f（x）满足：对于任意的实数a，b都有f（a＋b）＝f（a）f（b），且f（1）＝2，则f（1）f（0）＋f（5）f（3）＋f（9）f（6）＋f（14）f（10）＋…＋f（1274）f（1225）＝______．250－213．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_________．14＋π14．已知函数f（x）＝｜x2－2ax＋b｜（x∈R），给出下列命题：①f（x）必是偶函数；②当f（0）＝f（2）时，f（x）的图象必关于直线x＝1对称；③若a2－b≤0，则f（x）在区面［a，＋∞）上是增函数；④f（x）有最大值｜a2－b｜．其中正确命题的序号是____________．③二．解答题类型一：函数的图像与性质的综合应用。15．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2＋2x．（1）求函数g（x）的解析式；（2）解不等式g（x）≥f（x）－︱x－1︱；（3）若h（x）＝g（x）－λf（x）＋1在［－1，1］上是增函数，求实数λ的取值范围．解：（1）设函数y＝f（x）的图象上任一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则x0＋x2＝0y0＋y2＝0，即x0＝－xy0＝－y，又因为点Q（x0，y0）在函数y＝f（x）的图象上，所以－y＝x2－2x，即y＝－x2＋2x，故g（x）＝－x2＋2x．（2）由g（x）≥f（x）－︱x－1︱，可得2x2－︱x－1︱≤0．当x≥1时，2x2－x＋1≤0，此时不等式无解．当x＜1时，2x2＋x－1≤0，所以－1≤x≤12．因此，原不等式的解集为［－1，12］．（3）h（x）＝－（1＋λ）x2＋2（1－λ）x＋1．①当λ＝－1时，h（x）＝4x＋1在［－1，1］上是增函数，所以λ＝－1符合条件．②当λ≠－1时，对称轴方程为x＝1－λ1＋λ，当λ＜－1时，1－λ1＋λ≤－1，解得λ＜－1，当λ＞－1时，1－λ1＋λ≥1，解得－1＜λ≤0，综上可知，λ∈（－∞，0］．16．设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m，n总有f（m＋n）＝f（m）f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）证明：f（0）＝1，且x＜0时，f（x）＞1；（2）证明：函数f（x）在R上单调递减；（3）设A＝｛（x，y）｜f（x2）f（y2）＞f（1）｝，B＝｛（x，y）｜f（ax－y＋2）＝1，a∈R｝，若A∩B＝，确定a的取值范围．证明：（1）令n＝0，则f（m＋0）＝f（m）f（0）对于任意实数m恒成立．所以f（0）＝1，设x＜0，则－x＞0，由f［x＋（－x）］＝f（x）·f（－x）＝1，得f（x）＝1f（－x），∵当x＞0，0＜f（x）＜1，∴1f（x）＞1．∴x＜0时，－x＞0，于是f（x）＝1f（－x）＞1．（2）设x1＜x2，x2－x1＞0f（x2）＝f［（x2－x1）＋x1］＝f（x2－x1）f（x1）∵x2－x1＞0，0＜f（x2－x1）＜1，且f（x）＞0，∴f（x2－x1）f（x1）＜f（x1），即f（x2）＞f（x1）故函数f（x）在R上是减函数．（3）∵f（x2）f（y2）＝f（x2＋y2）＞f（1），f（ax－y＋2）＝1＝f（0），∴x2＋y2＜1，ax－y＋2＝0，由于A∩B＝，则圆心（0，0）到直线ax－y＋2＝0的距离d＝2a2＋1≥1解之得－3≤a≤3．类型二：含参变量的方程或不等式求取值范围。17．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．解：不等式x2＋px＞4x＋p－3很容易让我们联想到二次函数：f（x）＝x2＋（p－4）x－p＋3基于这种认识，本题实质上就是：对于二次曲线系f（x）＝x2＋（p－4）x－p＋3（0≤p≤4），考虑使得f（x）＞0恒成立的x的取值