高三总复习6-33

第三十三讲一般数列求通项一、选择题1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于()A．7B．8C．9D．17解析a4＝S4－S3＝(42－1)－(32－1)＝7.答案A2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析由an＋1＝an＋lnn＋1n，得an＋1－an＝lnn＋1n，得a2－a1＝ln2，a3－a2＝ln32，…，an－an－1＝lnnn－1，∴an－a1＝ln2＋ln32＋ln43＋…＋lnnn－1＝lnn，∴an＝a1＋lnn＝2＋lnn.答案A3．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝112(an＋3)2，(n∈N＋)，则{an}()A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．是等差数列，或是等比数列D．既不是等比数列，也不是等差数列解析∵Sn－Sn－1＝112[(an＋3)2－(an－1＋3)2]，∴12an＝a2n＋6an＋9－a2n－1－6an－1－9，∴(an＋an－1)(an－an－1－6)＝0，得an＝－an－1，或an－an－1＝6，∴{an}是等差数列，或是等比数列．答案C4．数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an12，2an－1，12≤an1，若a1＝25，则a2013等于()A.15B.25C.35D.45解析由题设可解得a1＝25，a2＝45，a3＝35，a4＝15，a5＝25，…，可知数列{an}为周期数列，周期为4，则a2013＝a1＝25.答案B5．若数列{an}满足a1，a2a1，a3a2，…，anan－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于()A．2100B．299C．25050D．24950解析由题可得a2a1＝21，a3a2＝22，…，a100a99＝299，∴a100＝a1·a2a1…a100a99＝21·22…299＝24950.答案D6．若称na1＋a2＋…＋an为n个正数a1＋a2＋…＋an的“均倒数”，已知数列{an}的各项均为正，且其前n项的“均倒数”为12n－1，则数列{an}的通项公式为()A．2n－1B．4n－3C．4n－1D．4n－5解析由题意可知a1＋a2＋…＋an＝n(2n－1)，当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)(2n－3)，上面两式相减，得an＝4n－3(n≥2)，当n＝1时，1a1＝12×1－1＝1，∴a1＝1满足an＝4n－3.∴an＝4n－3.答案B二、填空题7．已知数列{an}满足a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，则a2009＝________；a2014＝________.解析依题意得a2009＝a4×503－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.答案108．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，则f(n)＝________.解析设数列{an}的通项为an＝2·(23)n－1＝23n－2，则23n＋10＝23(n＋4)－2，即23n＋10是数列{an}的第n＋4项．∴f(n)＝2[1－23n＋4]1－23＝27(8n＋4－1)．答案27(8n＋4－1)9．(2011·浙江)若数列nn＋423n中的最大项是第k项，则k＝________.解析an＝n(n＋4)23n，则an＋1an＝n＋1n＋523n＋1nn＋423n＝2n＋1n＋53nn＋4，于是2(n＋1)(n＋5)－3n(n＋4)＝－n2＋10，令－n2＋100，得－10n10，则an＋1an1，n4时递增，令－n2＋100，得n10，则an＋1an1，n≥4时递减，故n＝4是最大项，即k＝4.答案4三、解答题10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an1＋3an，求数列{an}的通项公式．解由an＋1＝an1＋3an，得1an＋1＝1＋3anan，即1an＋1－1an＝3，∴1an为等差数列，∴1an＝1a1＋(n－1)×3＝3n－2，∴an＝13n－2.11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式．解由an＋1＝2an＋2n＋1，可得an＋12n＋1＝an2n＋1，∴an＋12n＋1－an2n＝1，∴数列an2n是公差为1的等差数列．∵a12＝1，∴an2n＝n，∴an＝n×2n.12．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)证明：由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3，an＋1＝Sn＋1－Sn＝(4an＋2)－(4an－1＋2)(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)，又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等差数列．(2)由(1)可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴an＋12n＋1－an2n＝34，∴数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列，∴an2n＝12＋(n－1)34＝34n－14，∴an＝(3n－1)·2n－2.1.已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，且n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为()A．an＝n＋1B．an＝－12n2＋52nC．an＝－6n－4D．an＝log2(n＋3)解析∵Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2)，∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)，∴an＋1＝an＋1(n≥2)，∴an＋1－an＝1(n≥2)．∵a2－a1＝3－2＝1，∴{an}是首项为2，公差为1的等差数列，∴an＝n＋1.答案A2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200等于()A．100B．200C．101D．201解析∵OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A，B，C三点共线，∴a1＋a100＝1，∴S200＝a1＋a1002×200＝100.答案A