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第1页共8页班级(学生填写):姓名:学号:命题:审题:审批:--------------------------------------------------------------------密----------------------------封---------------------------线-----------------------------------------------------------(答题不能超出密封装订线)第七章常微分方程阶段测验使用班级(教师填写):题号一二三四五六七八九总分得分阅卷人一.单项选择题(每小题3分,本题共20分)1.微分方程3()1yy的阶数为()(A)一(B)二(C)三(D)五2.容易验证:ywxywxw120cos,sin()是二阶微分方程ywy20的解,试指出下列哪个函数是方程的通解。(式中CC12,为任意常数)()(A)yCwxCwx12cossin(B)yCwxwx12cossin(C)yCwxCwx112cossin(D)yCwxCwx122cossin3.微分方程lnlnxyyyyx是()(A)可分离变量方程;(B)齐次方程;(C)一阶线性微分方程;(D)以上都不对。4.微分方程xyxydxdy2的解为()(A)xCxy2)(ln;(B)0y;(C)2y=(lnx+C)xy=0和;(D)以上都不对。5.设(),()fxfx为已知的连续函数,则方程()()()yfxyfxfx的解是()(A)()()1fxyfxce;(B)()()1fxyfxce;(C)()()fxyfxcce;(D)()()fxyfxce6.微分方程1xyye的一个特解应有形式()第2页(共8页)2(A)baex;(B)bxaxex;(C)bxaex;(D)baxex7.微分方程yyxsin的一个特解应具有形式()(A)Axsin(B)Axcos(C)AsixBxcos(D)xAxBx(sincos)8.微分方程yyxxcos2的一个特解应具有形式()(A)()cos()sinAxBxCxDx22(B)()cosAxBxx22(C)AxBxcossin22(D)()cosAxBx29.微分方程210yy的通解是()(A)xexCCy)(21;(B)xxeCeCy21;(C)xeCCyx21221;(C)xxCxCy21sincos21。10.设线性无关的函数321,,yyy都是二阶非齐次线性方程()()ypxyqxy=)(xf的解,21,CC是任意常数,则该非齐次方程的通解是()(A)32211yyCyC;(B)1122123()CyCyCCy;(C)3212211)1(yCCyCyC;(D)3212211)1(yCCyCyC。二.填空题(每小题3分,共15分)1.一曲线上点(,)xy的切线自切点到纵坐标轴间的切线段有定长2,则曲线应满足的微分方程。2.镭的衰变速度与它的现存量m成正比(比例系数为k),已知在时刻镭的存量为m0,则镭的量m与时间t应满足的微分方程初值问题是。3.一质量为m的物体在空气中由静止开始下落。已知空气阻力与下落速度平方成正比(比例系数为k),则物体下落的速度与时间应满足的微分方程初值问题是。第3页共8页4.满足方程21,(1)1,(1)0xyyy的解为。5.设ftftftn12(),(),,()是定义在区间[,]上的函数组,则ftftftn12(),(),,()线性无关的含义是三.求下列微分方程的解(每小题7分,共49分)1、求微分方程()cosxyyyxx20的通解。2、求微分方程21022xyexeyxx()dd的通解。3、求微分方程20yyy的通解。第4页(共8页)44、求微分方程yxyxysinsin22的通解。5、求微分方程xyxy21的通解。6、求微分方程yyy230的一条积分曲线,使其在原点处与直线yx4相切。第5页共8页7、求微分方程yyxch的一个特解。四.设函数(x)连续且满足xxxdttxdtttex00)()()(求(x)(8分)五.已知某曲线经过点(11)它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程(8分)第6页(共8页)6一.单项选择题(每小题3分,本题共15分)1.(B)2.(A)3.(B)4.(C)5.(A)6.(D)7.(D)8(A)9.(C)10.(D)二.填空题(每小题3分,共15分)1.xxy224()2.dd,(mtkmmmkt00是比例系数)3.vkmvgvt200,4.yxln5.只有当实数kkkkn123,,,,全为零,才能使等式kftkftkftnn11220()()()对于所有t[,]成立。三.求下列微分方程的解(每小题7分,共49分)1、解:原方程化为:yyxyx12cos令yux,上述方程化为:cosdd2uuxx;积分得:12142uuxCsinln以uyx代入得原方程的通解:224yxyxxCsinln2、解:方程改变为线性微分方程:ddyxxyxex222故通解为:yeCxeexxxx2222d;即:22()xyxCe3、解:令yp,则dpypdy代入方程20yyy得:20dpyppdy解得:1cpy;把yp代入1cpy第7页共8页得通解为:2122ycxc4、解:因为sinsincossinxyxyxy22222,故原方程可化简为ddcossinyxxy2220分离变量得:dsincosdyyxx222积分得通解:lntansinyxC4225、解:yxyx112yxxC11[ln];yxCxC12212lnln6、解:方程的通解为:yCeCexx123由已知yy(),()0004,代入上式得:CC1211,故所求积分曲线的方程为:yeexx37、解:特征方程r210的根为ri12,;因为chxeexx2故设特解为:*xxyAeBe代入方程得:*11()ch42xxyeex四.解等式两边对x求导得:xxdttex0)()(再求导得微分方程:()()xxex即()()xxxe微分方程的特征方程为:210r。其根为1,2ri。故对应的齐次方程的通解为:12()cossinxCxCx易知1*()2xxe是非齐次方程的一个特解故非齐次方程的通解为第8页(共8页)8121()cossin2xxCxCxe由所给等式知(0)=1(0)1由此得2121CC因此1()(cossin)2xxxxe五.解设点(xy)为曲线上任一点则曲线在该点的切线方程为:Yyy(Xx)其在纵轴上的截距为yxy因此由已知有:yxyx即11yxy这是一个一阶线性方程其通解为:)ln(])1([11CxxCdxeeydxxdxx即方程的通解为yx(Clnx)由于曲线过点(11)所以C1因此所求曲线的方程为yx(1lnx)
本文标题:高数08微分方程模拟试题及答案
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