高数利用导数证明不等式及导数的应用

第五讲利用导数证明不等式1证明不等式2证明方程根的个数3导数的应用(1)利用导数证明不等式利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有:1利用微分中值定理;2利用函数的单调性;3利用极值(或最值);10利用微分中值定理若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若不等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯西中值定理证.例1证明不等式).1,1(,ln)1(21111211nanaaaanannnn证明：把lna乘以各式,得到)1(,ln)1(ln21111211anaaaanaannnn区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)111nnaa)1,11(),111(ln111nnnnaaaann其中)1,11(,)1(ln)1(1)1(1111111nnnnaaaannnnnnnnnn因为是函数f(x)=ax在11111ln(),1nnaaaann11(,)1nn其中11111(1)(1)nnnnnnnn11111,(,)ln(1)1nnaaaannnn111,1ann1111111112222(1)(1)ln(1)nnnnnnaaaaaaannnnnan111111(1)(1)(1)nnnnaaaaaannnnnn20利用函数的单调性当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端或两端含f(x),且知道f’(x)0(或f”(x)0)则常需要用单调性证.解：:为证不等式,只要证0)(0)1ln(3232xfxxxx)1ln(3232xxxx例2当x0时,证明不等式)0(0)()1ln(32)(32fxfxxxxxf其辅助函数为0)0(111)(2fxxxxf0)0(,)1(121)(2fxxxf)0(0])1(11[2)1(22)(33xxxxf)0(0)()1ln(32)(32fxfxxxxxf所以当x0时,f(2)(x)严格单调增加,即f”(x)f”(0)(x0)从而f’(x)严格单调增加,于是当x0时f’(x)f’(0)=00)0(111)(2fxxxxf0)0(,)1(121)(2fxxxf)0(0])1(11[2)1(22)(33xxxxf2ln(1)xx(0)0f令得到唯一的驻点0210,(0)|101xxfx0,()(0)0,xfxf是极小值221ln(1)10xxxx2222(1)1()ln(1)(1)1xxxxfxxxxxx30利用函数的极值与最值例3对任意实数x,证明不等式221)1ln(1xxxx22:()1ln(1)1,(0)0fxxxxxf证明设则(2)证明某些等式利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理.若函数f(x)有一二阶导数,而要证的等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.关键是建立辅助函数:通常用移项(把等式一端的项全移到另一端)或把等式变形,或变形后再移项或变形后用逆推的方法.(3).证明方程的根的存在性与个数方程的根可以看成函数的零点,为了利用函数的连续性质及导数理论,通常把方程的根的讨论转化为函数的零点讨论.关于方程根的证明,主要有两种情况(1)证明方程在某区间内至少有一个或几个根1.利用介值定理证明方程根的存在性ln20(0,)xxe证明方程在区间内至少有两个实根例4由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)内各有一个根.xyY=lnx1:()ln2,()(0,)xfxxfxe证明令问题变成证明在区间内至少有两个00,lim()lim(ln2)xxxfxxe零点因为()11220felim()lim(ln2)xxxfxxe2.利用罗尔定理证明方程根的存在性这个方法是作一个在指定区间上满足罗尔定理条件的辅助函数,把根的存在性转化为该辅助函数的导函数的零点的存在性.例12设实数a0,a1,a2,a3,…an,满足关系式01..32210naaaan证明方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0在(0,1)内至少有一个根.01:()..,(),nnxaaxaxfx证明令作辅助函数()().fxx使()0(),xfx于是方程的存在性变成的零点的存在性()()fxx由231120()..231nnaaafxaxxxxn易知(0)(1)0,()[0,1]fffx在上满足罗尔定理中,(0,1),.的三个条件故在内至少存在一点01()0,..0(0,1)nnfaaxax使即方程在内.至少有一根(2).证明方程在给定的区间内有唯一的根或最多有几个根证明的步骤和方法如下:方法有:㈠利用函数的单调增减性;㈡用反证法,通常可利用罗尔定理,拉格朗日定理导出矛盾.2.再证唯一性或最多有几个根.方法有:㈠利用连续性函数的介值定理;㈡利用罗尔定理.1.先证存在性【解题回顾】1.求最大（小）值应用问题的一般方法：分析、联系、抽象、转化数学方法数学结果实际结果回答问题实际问题建立数学模型（列数学关系式）解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大(小)值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。1、把长60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时矩形面积最大？x(60-2x)/2解：设宽为Xcm,则长为（60－2X）/2=(30-X)cm所以面积2S=(30-x)x=30x-x'S=30-2x0x15令＝，得＝此时S’在x＞15时S’0,x＜15时，S’＞0S=S15225最大值　所以，（）＝结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。答：长为15cm,宽为15cm时面积最大。2、把长为100cm的铁丝分为两段，各围成正方形，怎样分法才能使两个正方形面积之和最小？x100-4x4解:设分成一段长为xcm,则第一个正方形面积为另一个面积为2x22100-4x()=(25-x)4所以面积之和为222s=x+(25-x)=2x-50x+625's=4x-50所以4x-50=0得x=12.5,当x12.5时，s’0,当x12.5时，s’0,故当x=12.5时s最大值为312.5平方厘米答：当一段为4x＝50cm时，面积之和最小，此时另一段也为50cm