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1高数测试题八(曲线积分与曲面积分部分)一、选择题(每小题5分,共25分)1、对于格林公式()LDQPPdxQdydxdyxy,下述说法正确的是(C)AL取逆时针方向,函数P,Q在闭区域D上存在一阶偏导数且QPxyBL取顺时针方向,函数P,Q在闭区域D上存在一阶偏导数且QPxyCL为D的正向边界,函数P,Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数DL取顺时针方向,函数P,Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数2、取定闭曲面的外侧,如果所围成的立体的体积是V,那么曲面积分=V的是(D)AxdydzydzdxzdxdyB()()()xydydzyzdzdxzxdxdyC()()xyzdydzdzdxdxdyD1()()3xyzdydzdzdxdxdy3、C为任意一条不通过且不包含原点的正向光滑简单闭曲线,则224Cxdyydxxy=(B)A4B0C2D4、设为2222xyza在(0)zhha部分,则zdS=(B)A2222200ahdarrdrB22200ahdardrC222220ahahdardrD2222200ahdarrdr25、设(,)(,),(,)APxyiQxyjxyD,其中P,Q在区域D内具有连续的一阶偏导数,又L是D中任一曲线,则下列关于曲线积分的论断,其中不正确的是(C)A如果LAdl与路径无关,则在区域D内,必有QPxyB如果LAdl与路径无关,则在区域D内,必存在单值函数(,)uxy,使得(,)(,)(,)duxyPxydxQxydyC如果在区域D内,QPxy,则必有LAdl与路径无关D如果对D中的每一条闭曲线C,恒有0LAdl,则LAdl与路径无关二、填空题(每小题5分,共25分)1、设C为依逆时针方向沿椭圆22221xyab一周路径,则()()Cxydxxydy=2ab2、设为球心在原点,半径为R的球面的外侧,在xdydzydzdxzdxdy=34R3、设C为圆周cos,sin(02)xatyatt,则22()Cxyds=32a4、设是由锥面22zxy与半球面222zRxy围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则xdydzydzdxzdxdy=3(22)R35、设有力场22()()(0)kFxyyixjy,已知质点在此力场内运动时,场力F所作的功与路径的选择无关,则k=1三、计算题1、(8分)计算()Lxyds,其中L是以(0,0),(1,0),(0,1)OAB为顶点的三角形的周界。解:111000()()()()212LOAOBABxydsxydsxydsxydsxdxydydx2、(8分)计算2222()()Lxydxxydy,其中L为沿曲线11yx从点O(0,0)到B(2,0)一段。解:0111212LOAABxxyxxx1222222220222221()()()4{(2)[(2)]}3Lxydxxydyxxxxdxxxxxdx3、(8分)计算22CxdyydxIxy,其中C是沿曲线22(2)xy从点A(22,2)到点B(22,2)的一段。解:利用格林公式,补充一段BA,因为22222()QPyxxyxy,((,)(0,0))xy,作包含(0,0)的辅助闭曲线1Ccos,sinxy,:20得1222200CCBADxydydxdxdyxyxy,所以4122222222222022()2(cossin)22arctan22CCBAxdyydxxdyydxIxyxydxdx4、(10分)设曲线积分2()Lxydxyxdy在全平面上与路径无关,其中()()xx具有一阶连续导数,且(0)0,计算(1,1)2(0,0)()xydxyxdy解:2,()PxyQyx,由条件知QPxy,得2()xyyx,当0y时,22()2,().(0)0,()xxxxCxx,取直线段:(01)OAyxx,由O(0,0)到A(1,1)(1,1)22(0,0)1()()2OAxydxyxdyxydxyxdy5、(8分)计算4(2)3zxydS,其中为平面1234xyz在第一卦限中的部分解:写成4442,2,33xyzxyzz3:03,022xyDyxx,226113xydSzzdxdydxdy44461361(2)[(42)(2)]33382xyDzxydSxyxydxdy6(8分)设()fu具有连续导函数,计算曲面积分33311[()][()]yyIxdydzfydzdxfzdxdyzzyz,其中为50x的锥面222xyz与球面2222221,4xyzxyz所围成立体表面的外侧。解:3332222211,(),()113,()3,()3yyPxQfyRfzzzyzPQyRyxfyfzxyzzzzz由高斯公式得222224400193(333)3sin(22)5Ixyzdvddrdr
本文标题:高数测试题八(曲线曲面积分)答案
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