高三数学一轮复习含绝对值的不等式_(34)

高考总复习·数学（理）衡水·名师新作第五节含绝对值的不等式高考总复习·数学（理）衡水·名师新作高考总复习·数学（理）衡水·名师新作最新考纲理解不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|高考热点1.以选择题的形式考查绝对值不等式，同时与不等式的性质相结合．2．以解答题的形式考查含绝对值不等式的证明，其中|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|起到放缩的作用.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作1.绝对值不等式的性质：(a∈R)(1)|a|≥0(当且仅当a＝0时取“＝”)(2)|a|≥±a；(3)－|a|≤a≤|a|；(4)|a2|＝|a|2＝a2；(5)|ab|＝|a||b|，|ab|＝|a||b|.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作2．两数和差的绝对值的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|特别注意此式，它是和差的绝对值和绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件．|a＋b|＝|a|＋|b|⇔；|a－b|＝|a|＋|b|⇔；|a|－|b|＝|a＋b|⇔；|a|－|b|＝|a－b|⇔.ab≥0ab≤0(a＋b)b≤0(a－b)b≥0高考总复习·数学（理）衡水·名师新作3．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下：(1)|f(x)|＜a(a＞0)⇔；(2)|f(x)|＞a(a＞0)⇔；(3)|f(x)|＜g(x)⇔；(4)|f(x)|＞g(x)⇔；(5)|f(x)|＞|g(x)|⇔；(6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．－a＜f(x)＜af(x)＜－a或f(x)＞a－g(x)＜f(x)＜g(x)f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)[f(x)]2＜[g(x)]2高考总复习·数学（理）衡水·名师新作1．解含多个绝对值的不等式时，若用分段讨论法去绝对值，要注意：(1)区间端点处的值不能遗漏；(2)在两个区间上解出结果应与本区间求交集；(3)各区间上的解集并起来，才得原不等式的解集．高考总复习·数学（理）衡水·名师新作2．要重视绝对值的几何意义、数形结合，快速解出形如|x－a|＋|x－b|＜c等这类绝对值不等式的解集．3．注意存在性问题与恒成立问题的区别，不等式有解，不一定恒成立，但不等式恒成立，一定有解．4．在应用不等式的性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|解决问题时要注意等号成立的条件.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作高考总复习·数学（理）衡水·名师新作例1解关于x的不等式|x2－3x－4|＞x＋2.[分析]本例去绝对值可用零点分区间讨论的方法，也可以利用公式法．题型一绝对值不等式的解法思维提示设法去掉绝对值符号高考总复习·数学（理）衡水·名师新作[解]解法一：原不等式等价于x＋2＜0①或x＋2≥0x2－3x－4＞x＋2或x2－3x－4＜－(x＋2)②①⇔x＜－2.②⇔x≥－2x＞2＋10或x＜2－10或1－3＜x＜1＋3⇔－2≤x＜2－10或x＞2＋10或1－3＜x＜1＋3.综上，x∈(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．高考总复习·数学（理）衡水·名师新作解法二：原不等式等价于x2－3x－4＞x＋2或x2－3x－4＜－(x＋2)⇔x2－4x－6＞0或x2－2x－2＜0⇔x∈(－∞，2－10)∪(2＋10，＋∞)∪(1－3，1＋3)．高考总复习·数学（理）衡水·名师新作[规律总结]由于|f(x)|＞a中，a为大于零的常数，而本题中x＋2正负不确定，故讨论其正负，即得解法一；解法二是不管x＋2的正负，直接利用公式|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a求解，结果是一样的．从理论上讲，解法一更合理些.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作备选例题1解不等式|x2－4|＋|x＋3|＞5.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作或－3≤x＜－2x2－4＋(x＋3)＞5或－2≤x＜2－(x2－4)＋x＋3＞5或x≥2x2－4＋x＋3＞5⇔x＜－3或－1＜x＜2或x＞2∴原不等式的解集为(－∞，－3)∪(－1,2)∪(2，＋∞).高考总复习·数学（理）衡水·名师新作题型二绝对值不等式性质的应用思维提示①不等式的基本性质；②绝对值不等式的性质.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作例2(1)若x＜5，n∈N*，则下列不等式：①|xlgnn＋1|＜5|lgnn＋1|；②|x|lgnn＋1＜5lgnn＋1；③xlgnn＋1＜5|lgnn＋1|；④|x|lgnn＋1＜5|lgnn＋1|.能够成立的有________个．(2)不等式|a＋b||a|－|b|≥1成立的充要条件是________．高考总复习·数学（理）衡水·名师新作[分析](1)利用对数函数的性质和不等式的性质进行判断，用排除法解较简便．(2)可从绝对值不等式的性质|a＋b|≥|a|－|b|出发，去寻找原不等式成立的充要条件．高考总复习·数学（理）衡水·名师新作[解析](1)∵0＜nn＋1＜1，∴lgnn＋1＜0.由x＜5，并不能确定|x|与5的关系，∴可以否定①，②，③.而|x|lgnn＋1≤0，④成立．高考总复习·数学（理）衡水·名师新作(2)当|a|＞|b|时，有|a|－|b|＞0，∴|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|，∴必有|a＋b||a|－|b|≥1.即|a|＞|b|是|a＋b||a|－|b|≥1成立的充分条件，高考总复习·数学（理）衡水·名师新作当|a＋b||a|－|b|≥1时，由|a＋b|＞0，必有|a|－|b|＞0，即|a|＞|b|，故|a|＞|b|是|a＋b||a|－|b|≥1成立的必要条件，故所求为|a|＞|b|.[答案](1)1(2)|a|＞|b|高考总复习·数学（理）衡水·名师新作[规律总结](1)放缩法是不等式证明的常用方法．放缩的思路主要有两种：①利用绝对值不等式的性质放缩，如|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.②利用分数分子分母放缩，分子不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等号是否还能成立．(2)证明充要条件的问题时，一定要分清充分性和必要性各指什么.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作备选例题2(1)设xy＜0，x，y∈R，那么下列关系式正确的是()A．|x＋y|＞|x－y|B．|x－y|＜|x|＋|y|C．|x＋y|＜|x－y|D．|x－y|＜||x|－|y||高考总复习·数学（理）衡水·名师新作(2)已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系是()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m≤n高考总复习·数学（理）衡水·名师新作解析：解法一：特殊值法取x＝1，y＝－2，则满足xy＝－2＜0，这样有|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，|x|＋|y|＝1＋2＝3，||x|－|y||＝|1－2|＝1，∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立．解法二：由xy＜0得x，y异号，易知|x＋y|＜|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|，|x－y|＞||x|－|y||，∴选项C成立，A、B、D均不成立．高考总复习·数学（理）衡水·名师新作(2)因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|－|b||a－b|≤1，即m≤1，又因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a|＋|b||a＋b|≥1，即n≥1，所以m≤1≤n.答案：(1)C(2)D高考总复习·数学（理）衡水·名师新作题型三含绝对值不等式的证明思维提示①运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|放缩；②运用比较法、分析法和综合法.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作例3设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤8.[分析]欲证|f(2)|≤8，要充分利用|x|≤1时总有|f(x)|≤1这个条件，即对[－1,1]上的每一个值均有|f(x)|≤1，故可采用特殊值f(0)，f(1)，f(－1)，将这些特殊值通过字母系数a，b，c与f(2)联系起来，以达到证题目的．高考总复习·数学（理）衡水·名师新作[证明]证法一：∵当|x|≤1时，|f(x)|≤1，∴|f(0)|≤1，即|c|≤1.又|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，∴|a＋b＋c|≤1，|a－b＋c|≤1.又∵|a＋b＋c|＋|a－b＋c|＋2|c|≥|a＋b＋c＋a－b＋c－2c|＝|2a|，且|a＋b＋c|＋|a－b＋c|＋2|c|≤4，∴|a|≤2.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作∵|2b|＝|a＋b＋c－(a－b＋c)|≤|a＋b＋c|＋|a－b＋c|≤2，∴|b|≤1，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|f(1)＋3a＋b|≤|f(1)|＋3|a|＋|b|≤1＋6＋1＝8，即|f(2)|≤8.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作证法二：∵当|x|≤1时，|f(x)|≤1，∴|f(0)|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.由f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，f(0)＝c知a＝f(1)＋f(－1)－2f(0)2，b＝f(1)－f(－1)2，c＝f(0)．∴f(2)＝|4a＋2b＋c|＝|2f(1)＋2f(－1)－4f(0)＋f(1)－f(－1)＋f(0)|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤3×1＋1×1＋3×1＝7≤8.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作[规律总结]证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两种：一是恰当地运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作备选例题3已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，证明：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.证明：(1)f(0)＝c，f(1)＝c，故f(0)＝f(1)．(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x－x2＋c－x＋x1－c|＝|x2－x1||x2＋x1－1|，∵0≤x1≤1,0≤x2≤1,0＜x1＋x2＜2(x1≠x2)，∴－1＜x1＋x2－1＜1，∴|x2＋x1－1|＜1，∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作题型四绝对值不等式的综合应用思维提示①相关函数的性质；②绝对值不等式的性质.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作例4已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1,1]，且|f(x)|的最大值为M.(1)试证明|1＋b|≤M；(2)试证明M≥12；(3)当M＝12时，试求出f(x)的解析式．高考总复习·数学（理）衡水·名师新作[分析]利用M是|f(x)|的最大值，则M不小于x∈[－1,1]上|f(x)|的任意值，赋值，转化a、b的关系，再利用绝对值的性质证明．[解](1)证明：∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|,2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴M≥|1＋b|.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作(2)证明：依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＋|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥(1－a＋b)|－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥12.高考总复习·数学（理）衡水·名师新作(3)当M＝12时，|f