高三数学不等式的性质1教案

1课题：不等式的性质（1）教学目的：1奎屯王新敞新疆了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2奎屯王新敞新疆掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号奎屯王新敞新疆授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、引入：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的奎屯王新敞新疆研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式奎屯王新敞新疆实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据奎屯王新敞新疆因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系奎屯王新敞新疆生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(ab0)，若再加m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为ab，加入m克糖后的糖水浓度为mamb，只要证mambab即可奎屯王新敞新疆怎么证呢?引人课题奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a=b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：0baba0baba0baba由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了．三、讲解范例：例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小奎屯王新敞新疆例2已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小奎屯王新敞新疆分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略奎屯王新敞新疆本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项奎屯王新敞新疆2解：例2引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?例3已知ab0，m0，试比较mamb与ab的大小奎屯王新敞新疆从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵奎屯王新敞新疆例4比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．说明：“变形”是解题的关键，是最重一步奎屯王新敞新疆因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法奎屯王新敞新疆例5已知xy，且y≠0，比较yx与1的大小奎屯王新敞新疆说明：变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1奎屯王新敞新疆在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（3＋2）2６＋26；（2）（3－2）2（6－1）2；（3）251561；(4)当a＞b＞0时，log21alog21b奎屯王新敞新疆答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜2奎屯王新敞新疆选择题若a＜0，－1＜b＜0，则有()A奎屯王新敞新疆a＞ab＞ab2B奎屯王新敞新疆ab2＞ab＞aC奎屯王新敞新疆ab＞a＞ab2D奎屯王新敞新疆ab＞ab2＞a3奎屯王新敞新疆比较大小：(1)（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2；(2)log2131与log2131奎屯王新敞新疆4奎屯王新敞新疆如果x＞0，比较（x－1）2与（x＋1）2的大小奎屯王新敞新疆5奎屯王新敞新疆已知a≠0，比较（a2＋2a＋1）（a2－22a＋1）与（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小奎屯王新敞新疆五、小结：六、课后作业：1．已知142yx，比较22yx与201的大小2．比较2sin与sin2的大小(02)3．设0a且1a，0t，比较talog21与21logta的大小4．设0a且1a，比较)1(log3aa与)1(log2aa的大小3课题：不等式的性质（2）教学目的：1奎屯王新敞新疆理解同向不等式，异向不等式概念；2奎屯王新敞新疆理解不等式的性质定理1—3及其证明；3奎屯王新敞新疆理解证明不等式的逻辑推理方法．4奎屯王新敞新疆通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯奎屯王新敞新疆教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件奎屯王新敞新疆教学难点：1奎屯王新敞新疆理解定理1、定理2的证明，即“a＞bb＜a和a＞b，b＞ca＞c”的证明奎屯王新敞新疆这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则奎屯王新敞新疆2奎屯王新敞新疆定理3的推论，即“a＞b，c＞da＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据奎屯王新敞新疆但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论奎屯王新敞新疆授课类型：新授课课时安排：1课时教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1．判断两个实数大小的充要条件是：0baba0baba0baba2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?从而引出不等式的性质及其证明方法．二、讲解新课：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式奎屯王新敞新疆异向不等式：两个不等号方向相反的不等式奎屯王新敞新疆例如：ab，cd，是异向不等式奎屯王新敞新疆2．不等式的性质：定理1：如果ab，那么ba，如果ba，那么ab．(对称性)即：abba；baab证明：∵ab∴a-b0由正数的相反数是负数，得-(a-b)0即b-a0∴ba(定理的后半部分略)．点评：可能个别学生认为定理l没有必要证明，那么问题：若ab，则a1和b1谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性奎屯王新敞新疆“实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．定理2：如果ab，且bc，那么ac．(传递性)4即ab，bcac证明：∵ab，bc∴a-b0，b-c0根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+(b-c)0即a-c0∴ac根据定理l，定理2还可以表示为：cb，baca点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形．定理3：如果ab，那么a+cb+c．即aba+cb+c证明：∵ab，∴a-b0，∴(a+c)-(b+c)0即a+cb+c点评：(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+bc，那么ac-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d．(相加法则)即ab，cda+cb+d．证法一：dbcbdccbcabaa+cb+d证法二：000dcbadcdcbabaa+cb+d点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；三、讲解范例：例已知ab，cd，求证：a-cb-d．(相减法则)分析：思路一：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较a－c与b－d的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的奎屯王新敞新疆思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1奎屯王新敞新疆判断下列命题的真假，并说明理由：(1)如果a＞b，那么a－c＞b－c；(2)如果a＞b，那么ca＞cb奎屯王新敞新疆分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真奎屯王新敞新疆52奎屯王新敞新疆回答下列问题：（1)如果a＞b，c＞d，能否断定a＋c与b＋d谁大谁小?举例说明；(2)如果a＞b，c＞d，能否断定a－2c与b－2d谁大谁小?举例说明奎屯王新敞新疆3奎屯王新敞新疆求证：(1)如果a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c；(2)如果a＞b，那么c－2a＜c－2b奎屯王新敞新疆(2)a＞b－2a＜－2bc－2a＜c－2b奎屯王新敞新疆4奎屯王新敞新疆已和a＞b＞c＞d＞0，且dcba，求证：a＋d＞b＋c奎屯王新敞新疆评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速奎屯王新敞新疆这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧奎屯王新敞新疆五、小结：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a＞bb＜a＝、传递性(a＞b，b＞ca＞c)、可加性(a＞ba＋c＞b＋c)、加法法则（a＞b，c＞da＋c＞b＋d），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法奎屯王新敞新疆六、课后作业：1．如果Rba,，求不等式baba11,同时成立的条件．2．已知Rcba,,，0,0abccba求证：0111cba3．已知||||,0baab比较a1与b1的大小．4．如果0,ba求证：abab1七、板书设计（略）八、课后记：6课题：不等式的性质（3）教学目的：1．熟练掌握定理1，2，3的应用；2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；3．掌握反证法证明定理5奎屯王新敞新疆教学重点：定理4，5的证明奎屯王新敞新疆教学难点：定理4的应用奎屯王新敞新疆授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式奎屯王新敞新疆异向不等式：两个不等号方向相反的不等式奎屯王新敞新疆例如：ab，cd，是异向不等式奎屯王新敞新疆2．不等式的性质：定理1：如果ab，那么ba，如果ba，那么ab．(对称性)即：abba；baab定理2：如果ab，且bc，那么ac．(传递性)即ab，bcac定理3：如果ab，那么a+cb+c．即aba+cb+c推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d．(相加法则)即ab，cda+cb+d．二、讲解新课：定理4：如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acbc．类比定理3推论，设想同向不等式相乘，不等号方向是否改变？即如果ab，cd是否一定能得出acbd？(举例说明)能否加强条件得出acbd呢?(引导学生探索，得出推论)．推论1如果ab0，且cd0，那么acbd．(相乘法则)推论2若0,(1)nnababnNn则且说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；（2）应强调学生注意n∈N1n且的条件奎屯王新敞新疆如果ab0，那么anbn(nN，且n1)奎屯王新敞新疆定理5若0,(1)nnababnNn则且点拨：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难则反”．我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即nnab和nnab，所以不能仅仅否定了nnab，就“归谬”了事，7而必须进行“穷举”奎屯王新敞新疆点评：反证法证题思路是：反设结论→找出矛盾→肯定结论．三、讲解范例：例1已知0ba且dc