高三数学专题一集合逻辑与不等式答案(120807)

北师大三附中高二年级数学暑假作业专题一集合、逻辑与不等式答案-1-专题一集合、逻辑与不等式§1－1集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【例题分析】例1给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0{－1，1}(3)∈{0}(4){0}(5){0}∈{0，1}(6){0}{0}其中正确的关系是______．解答：(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：空集，记作；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，记作：aA．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：AB或BA．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．AB或BA．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：AA；②空集是任何集合的子集：A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果AB，BC，则AC；如果AB，BC，则AC．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(UA)∩(UB)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(UA)＝{4，6，8}．求集合A，B．解：根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，北师大三附中高二年级数学暑假作业专题一集合、逻辑与不等式答案-2-图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U中的补集．记作UA．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3设集合M＝{x｜－1≤x＜2}，N＝{x｜x＜a}．若M∩N＝，则实数a的取值范围是______．答：(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4设a，b∈R，集合},,0{},,1{bababa，则b－a＝______．【分析】因为},,0{},,1{bababa，所以a＋b＝0或a＝0(舍去，否则ab没有意义)，所以，a＋b＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a＋b，a}，a＝－1，结合a＋b＝0，b＝1，所以b－a＝2．练习1－1答案一、选择题北师大三附中高二年级数学暑假作业专题一集合、逻辑与不等式答案-3-1．B2．B3．A4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(UB)，从而U＝A∪(UB)．二、填空题5．{x｜x＜4}6．4个7．{x｜－1＜x＜2}8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．§1－2常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若p，则q．逆否命题：若q，则p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果pq，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果pq且qp，即qp则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【例题分析】例1分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．北师大三附中高二年级数学暑假作业专题一集合、逻辑与不等式答案-4-(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则AB．解：(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题；(2)逆命题：若AB，则A∩B＝A；是真命题；否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题；逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．评述：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．有时一个命题的真假不易判断，可以判断其逆否命题的真假，因为二者是等价的．例2指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【分析】由定义知，若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；若pq且qp，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例3设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件解：条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若AB且BA，则p是q的充分非必要条件；若AB且BA，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．北师大三附中高二年级数学暑假作业专题一集合、逻辑与不等式答案-5-例4命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2答案一、选择题1．D2．A3．B4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－17．充要条件8．④提示：8．因为AB，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，AB，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题；因为若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，所以ab＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．§1－3不等式(含推理与证明)【知识要点】1．不等式的性质．(1)如果a＞b，那么b＜a；(2)如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；(3)如果a＞b，那么a＋c＞b＋c(如果a＋c＞b，那么a＞b－c)；(4)如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；(5)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；(6)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；(7)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋，n＞1)；(8)如果a＞b＞0，那么)1,N(nxbann；2．进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：北师大三附中高二年级数学暑假作业专题一集合、逻辑与不等式答案-6-若a∈R，则)R(0.0||;02aaaa．3．会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式．简单的含参数的不等式．4．均值定理：如果a、b∈R＋，那么.2abba当且仅当a＝b时，式中等号成立．其他常用的基本不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab，(a－b)2≥0．如果a、b同号，那么.2baab5．合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法．【例题分析】例1若a＞b＞c，则一定成立的不等式是()A．a｜c｜＞b｜c｜B．ab＞acC．a－｜c｜＞b－｜c｜D．cba111【分析】关于选项A．当c＝0时，a｜c｜＞b｜c｜不成立．关于选项B．当a＜0时，ab＞ac不成立．关于选项C．因为a＞b，根据不等式的性质a－｜c｜＞b－｜c｜，正确．关于选项D．当a＞b＞0＞c时，cba111不成立．所以，选C．例2a，b∈R，下列命题中的真命题是()A．若a＞b，则｜a｜＞｜b｜B．若a＞b，则ba11C．若a＞b，则a3＞b3D．若a＞b，则1ba【分析】关于选项A．当a＝－1，b＝－2时，｜a｜＞｜b｜不成立．关于选项B．当a＞0，b＜0时，ba11不成立．关于选项C．因为a＞b，根据不等式的性质a3＞b3，正确．关于选项D．当b＜0时，1ba不成立．所以，选C．【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法．判断不等式的理论依据参看本节的知识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法．判断一个不等式是正确的，就应该给出一个合理的证明(或说明)，就像例1、例2对正确的选项判断那样．判断一个不等式是不正确的，应举出反例．例3解下列不等式：(1)x2－x－1＞0；(2)x2－3x＋2＞0；(3)2x2－3x＋1≤0；北师大三附中高二年级数学暑假作业专题一集合、逻辑与不等式答案-7-(4);021xx(5)｜2x－1｜＜3；(6).1212xx解：(1)方程x2－x－1＝0的两个根是251,21xx结合函数y＝x2－x－1的图象，可得不等式x2－x－1＞0的解集为}.251251|{xxx或(2)不等式x2－3x＋2＞0等价于(x－1)(x－2)＞0，易知方程(x－1)(x－2)＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，结合函数y＝x2－3x＋2的图象，可得不等式x2－3x＋2＞0的解集为{x｜x＜1或x＞2}．(3)不等式2x2－3x＋1≤0等价于(2x－1)(x－1)≤0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为}.121|{xx(4)021xx等价于(x－1)(x－2)＞0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为{x｜x＜1或x＞2}．(5)不等式｜2x－1｜＜3等价于－3＜2x－1＜3，所以－2＜2x＜4，即－1＜x＜2，所以不等式｜2x－1｜＜3的解集为{x｜－1≤x＜2}．(6)不等式1212xx可以整理为,021xx,021xx等价于.021021xxxx或以下同(