高三数学总复习基本函数1X

1高三数学总复习讲义——基本函数知识清单：1.一元一次函数：)0(abaxy，当0a时，是增函数；当0a时，是减函数；2.一元二次函数：一般式:)0(2acbxaxy；对称轴方程是2bxa；顶点为24(,)24bacbaa；两点式：))((21xxxxay；对称轴方程是；与x轴的交点为；顶点式：hkxay2)(；对称轴方程是；顶点为；⑴一元二次函数的单调性：当0a时：为增函数；为减函数；当0a时：为增函数；为减函数；⑵二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为hkxay2)(的形式，(Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当0a时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当0a时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；(Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当0a时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当0a时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；⑶二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程0)(2cbxaxxf的两根为21,xx；则：根的情况12xxk≥12xxk≤21xkx等价命题在区间),(k上有两根在区间),(k上有两根在区间),(k或),(k上有一根充要条件02()0bkaafkΔ≥。02()0bkaafkΔ≥。a·f(k)0另外:①二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(pq)()0()0afpafq。②二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)0，或0)(0)(qfapf（检验）或0)(0)(pfaqf（检验）。③若在闭区间],[nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，在令nx和mx检查端点的情况。注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。特别指出,分段函数也是重要的函数模型。3.指数函数：xay（0,1aa），定义域R，值域为（,0）.⑴①当1a，指数函数：xay在定义2域上为增函数；②当01a，指数函数：xay在定义域上为减函数.⑵当1a时，xay的a值越大，越靠近y轴；当01a时，则相反.4.对数函数：如果a（0,1aa）的b次幂等于N，就是Nab，数b就叫做以a为底的N的对数，记作bNalog（0,1aa，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N叫真数.⑴对数运算：1211log231log()logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog1loglog...loglog(0,0,0,1,0,1,0,1,anaaaaaanaanaaNbababcaaananMNMNMMNNMnMMMnaNNNabcaaaaaMNaabbcca①②③④⑤⑥换底公式：⑦推论：以上2,,...,01)naa且例如：2log2log(2logaaaxxx中x＞0而2logxa中x∈R）.⑵xay（0,1aa）与xyalog互为反函数.当1a时，xyalog的a值越大，越靠近x轴；当01a时，则相反.5．幂函数（1）幂函数的定义：。（2）幂函数的性质：①所有幂函数在上都有意义，并且图像都过点。②如果0a，则幂函数图像过原点，并且在区间上为增函数。③如果0a，则幂函数图像在0,上是。在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近。当x趋向于时，图像在y轴右方无限地逼近。④当a为奇数时，幂函数为，当a为偶数时，幂函数为，（3）幂函数0ayx,x,，当1a时，若01x,其图像在直线yx的下方，若1x，其图像在直线yx的上方；当01a时，若01x,其图像在直线yx的上方，当1a时，若1x其图像在直线yx的下方。1．映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。2．函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为33．函数的三要素：定义域，值域，对应法则.从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。①函数),0(Rxkbkxy的值域为R;②二次函数),0(2Rxacbxaxy当0a时值域是24[,)4acba,当0a时值域是(,abac442]；③反比例函数)0,0(xkxky的值域为}0|{yy；④指数函数),1,0(Rxaaayx且的值域为R；⑤对数函数xyalog)0,1,0(xaa且的值域为R；⑥函数sin,cos()yxyxxR的值域为[-1，1]；⑦函数2kx,tanxy,cotxy),(Zkkx的值域为R；图象变换：①y=f（x））（轴对称xfyy②y=f（x））（轴对称xfyx③y=f（x））（原点对称xfy④y=f(x)→y=f(|x|),把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称⑤y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数）⑥伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。一、注:一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；知识清单：1、函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分.对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在0112（，）（，）上为减函数.2、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：①定义法（作差比较和作商比较）；②图象法③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；4④复合函数单调性判断法则;⑤导数法（适用于多项式函数）注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。3.偶函数⑴偶函数：)()(xfxf.设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.⑵偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y轴对称，例如：12xy在)1,1[上不是偶函数.②满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.4.奇函数⑴奇函数：)()(xfxf.设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：3xy在)1,1[上不是奇函数.②满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如()()0fxfx，()1()fxfx（f(x)≠0）5．反函数⑴定义：只有满足xy唯一，函数)(xfy才有反函数.例如：2yx无反函数.函数)(xfy的反函数记为)(1yfx，习惯上记为)(1xfy.⑵.求反函数的步骤:①将)(xfy看成关于x的方程,解出)(1yfx，若有两解，要注意解的选择；②将yx,互换，得)(1xfy；③写出反函数的定义域（即)(xfy的值域）。⑶.在同一坐标系，函数)(xfy与它的反函数)(1xfy的图象关于xy对称.[注]：一般地，1(3)(3)fxfx的反函数.1(3)fx是先()fx的反函数，在左移三个单位.(3)fx是先左移三个单位，在()fx的反函数.6函数性质之间的关系.⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.⑶设函数y=f（x）定义域，值域分别为X、Y.如果y=f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数1()yfx在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同.⑷一般地，如果函数)(xfy有反函数，且()fab，那么abf)(1.这就是说点（ba,）在函数)(xfy图象上，那么点（ab,）在函数)(1xfy的图象上.注：1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。2.设函数f(x)定义域为A，值域为C，则①f-1[f(x)]=x,(xA)②f[f-1(x)]=x,(xC)