高三数学教案轨迹问题

课时考点13轨迹问题考纲透析考试大纲：在理解曲线与方程意义的基础上，能较好地掌握求轨迹的几种基本方法.高考热点：1.直接法、定义法、转移法求曲线的轨迹方程.2.数形结合的思想，等价转化的思想能起到事半功倍的作用.新题型分类例析热点题型1：直接法求轨迹方程（05江苏•19）如图，圆1O与圆2O的半径都是1，421OO，过动点P分别作圆1O.圆2O的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得PNPM2奎屯王新敞新疆试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程奎屯王新敞新疆解：以1O2O的中点O为原点，1O2O所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则1O（-2，0），2O（2，0），由已知PN2PM，得222PNPM奎屯王新敞新疆因为两圆的半径均为1，所以)1(212221POPO奎屯王新敞新疆设),(yxP，则]1)2[(21)2(2222yxyx，即33)6(22yx，所以所求轨迹方程为33)6(22yx奎屯王新敞新疆（或031222xyx）奎屯王新敞新疆[变式新题型1]：设双曲线13222xay的焦点分别为1F、2F，离心率为2.（1）求此双曲线的渐近线`1l、2l的方程；（2）若A、B分别为`1l、2l上的动点，且2|AB|=5|1F2F|，求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线.热点题型2：定义法和转移法求轨迹方程（05辽宁•理21）已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPTPO1O2MN（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由。解：本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为).,(yx由P),(yx在椭圆上，得.)()()(||222222221xacaxabbcxycxPF由0,acxacaax知，所以.||1xacaPF………………………3分证法二：设点P的坐标为).,(yx记,||,||2211rPFrPF则.)(,)(222221ycxrycxr由.||,4,211222121xacarPFcxrrarr得证法三：设点P的坐标为).,(yx椭圆的左准线方程为.0xaca由椭圆第二定义得accaxPF||||21，即.||||||21xacacaxacPF由0,acxacaax知，所以.||1xacaPF…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为).,(yx当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.当|0||0|2TFPT且时，由0||||2TFPT，得2TFPT.又||||2PFPQ，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，aQFOT||21||1，所以有.222ayxTQPF2F1oyxTQPF2F1oyx综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx…………………………7分解法二：设点T的坐标为).,(yx当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.当|0||0|2TFPT且时，由02TFPT，得2TFPT.又||||2PFPQ，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（yx,），则.2,2yycxx因此.2,2yycxx①由aQF2||1得.4)(222aycx②将①代入②，可得.222ayx综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx……………………7分（Ⅲ）解法一：C上存在点M（00,yx）使S=2b的充要条件是.||221,2022020bycayx由③得ay||0，由④得.||20cby所以，当cba2时，存在点M，使S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cba2时，),(),,(002001yxcMFyxcMF，由2222022021bcaycxMFMF，212121cos||||MFFMFMFMFMF，22121sin||||21bMFFMFMFS，得.2tan21MFF解法二：C上存在点M（00,yx）使S=2b的充要条件是③④.||221,2022020bycayx由④得.||20cby上式代入③得.0))((2224220cbacbacbax于是，当cba2时，存在点M，使S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cba2时，记cxykkcxykkMFMF00200121,，由,2||21aFF知9021MFF，所以.2|1|tan212121kkkkMFF…………14分[变式新题型2]已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，直线l过定点A(4,0)且与抛物线交于P,Q两点。（1）若以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求p的值。（2）在（1）的条件下，若FPFQFR，求动点R的轨迹方程.[启思]热点题型3：与轨迹有关的综合问题（05江西·理22）如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为))((,(),(0121120xxxxxx和，∴切线AP的方程为：;02200xyxx切线BP的方程为：;02211xyxx解得P点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以△APB的重心G的坐标为PPGxxxxx310，③④,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以243GGpxyy，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：).24(31,02)43(22xxyxyx即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200xxFBxxxxFPxxFA由于P点在抛物线外，则.0||FP∴,||41)41(||)41)(41(2||||cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP同理有,||41)41(||)41)(41(2||||cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101yxxxxx则不妨设由于时所以P点坐标为)0,2(1x，则P点到直线AF的距离为：,4141:;2||12111xxxyBFxd的方程而直线即.041)41(1121xyxxx所以P点到直线BF的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212xxxxxxxxxd所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当001xx时，直线AF的方程：,041)41(),0(041410020020xyxxxxxxy即直线BF的方程：,041)41(),0(041411121121xyxxxxxxy即所以P点到直线AF的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201xxxxxxxxxxxxxxd，同理可得到P点到直线BF的距离2||012xxd，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB奎屯王新敞新疆[变式新题型3]动椭圆C以坐标原点O为左焦点,以定直线x=–8为左准线,点B是椭圆C的短轴上的一个端点，线段BO的中点为M.（1）求点M的轨迹方程；（2）已知kR,i=（1，0），j=（0，1），经过点（–1，0）且以i+kj为方向向量的直线l与点M的轨迹交于E、F两点，又点D的坐标为（1，0），若EDF为钝角，求k的取值范围.[启思]