高三数学概率与统计

排列、组合、二项式定理、概率与统计专题三1121.nnnmAmAPAn等可能性事件等可能性事件的定义：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫做等可能性事件．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率．12121212(212)3nnnnABPABPAPBAAAAAAPAAAPAPAPAA互斥事件的有关概念互斥事件的定义：不可能同时发生的两个事件．若与为互斥事件，有．彼此互斥：一般地，如果事件，，，中的任何两个都是互斥的，那么就说事件，，，彼此互斥，其概率计算公式．对立事件：如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生，那么这样的两个互斥事件叫做对立事件．记．的对立事件()()1()1PAPAAPAPA为，，即．12112()()3()3(nABBAABABAPABPAPBnAAAnPAA相互独立事件同时发生的概率相互独立事件的定义：事件或是否发生对事件或发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立．两个相互独立事件同时发生的概率：．个相互独立事件同时发生的概率：如果事件，，，相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即．212)nnAPAPAPA．1C111241nnkknnAPnkPkPPPPk独立重复试验的概念及计算独立重复试验的定义：在相同条件下进行的各次之间相互独立的一种试验．独立重复试验的概率：在次独立重复试验中，如果事件在次试验中发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率，此式为二项式展开式的第．项．15抽样方法简单随机抽样：当一些总体个数不太大时，常采用抽签法抽取样本；在大规模社会调查中总体个数常常数以千计万计，要编号、制作号签等工作量在不易操作时常采用随机数表法．用随机数表法抽样的步骤：将总体中的个体编号；选定开始的数字；获取样本号码．学习简单随机抽样应注意以下三点：它要求被抽取样本的总体的个数有限；从总体中逐个地进行抽取；是一种不①放②③回．①②③式抽样．2分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样．分层抽样方法须注意两点：分层抽样要将相近一类归入一层，不同类归入不同层；②在分层抽样过程中，在对每一层的抽样时也采用的简单随机抽样．步骤：分层；按比例确定每层抽取个体的个数；各层抽①①②③④样；汇合成样本．6总体分布的估计频率分布直方图画法：确定分组的组数，其方法是最大数据与最小数据之差除以组距得组数；计算每组的频数频数与频率，其中频率；样本容易画频率分布③．①②直方图．121212222212222121()1[()()()]1[()()..(.712.)]nnnnnnxxxxxxxnnxxxxsxxxxxxnsxxxxxxn总体期望值和方差的估计平均数的计算：个数据，，，的平均数．方差的计算：样本个数据，，，的平均数为，则样本方差为，标准差为．103g101g1013g23在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有张卡片上的拼音带有后鼻音“”．现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这张卡片中随机抽取张，测试后放回，余下两位的测试，也按同样的方法进行．求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“”的概率；若某位被测试者从张卡片中一次随机抽取张，求这张卡片上，拼音带有例.后鼻音“12”的卡片不少于张的概率．考点1概念应用题12g第小题首先确定每位测试者抽到一张带“”卡片的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算；第利用等可能事件与互斥事件的概率分析：公式计算．101g3103331010127.100010每次测试中，被测试者从张卡片中随机抽取张卡片上拼音带有后鼻音“”的概率为，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为解析：12732310333310232311,2,33g7401.1207141.6001202iiAiiCCPAPACCPACPAAPAPA设表示所抽取的张卡片中，恰有张卡片带有后鼻音“”的事件，且其相应解的概率为，则，因而所求概率为析：2本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率．解答题注意不要混淆了互斥事件与相互独立事件．第小题的解答根据是“不少于”将事件分成了两个等可能事件，同时也可以利用事件的互斥事件【思维启迪】进行计算．2546541112某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的株大树中：至少有株成活的概率；两种大树各成活株变式题：的概率．1212121212121212221,21,254.6511()1()()()()111()(899.90)5160klAkkBllAABBPAPAPBPBPAABBPAPAPBPB设表示第株甲种大树成活，；设表示第株乙种大树成活，，则，，，独立，且，至少有株成活的解概率为析：112221541108CC6553245456.P由独立重复试验中事件发生的概率公式知，两种大树各成活株的概率为251,2,3,4,510__.s某校甲、乙两个班级各有名编号为的学生进行投篮练习，每人投次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为例2.考点2总体分布的估计首先根据表格中的数据计算两个班的期望，然后利用期望与表格中数据计算它们的方差，最后进行比较分析:得结果．2222222222222767777787727s52567776777976s.5.55s甲乙甲、乙两个班的期望均为，则甲班数据的方差，乙班数解析：故两组数据的方差中较小个为据的方的一差应用期望与方差问题判断方案等问题优劣时，如果两个随机变量的均值不相等，那么优劣显而易见；如果两个随机变量的均值相等，那么比较它们的方【思维启迪】差来判断．10()150,152,153,149,148,146,151,150,152,147A150.2B149.8C149.4D147.8某商场买来一车苹果，从中随机抽取了个苹果，其重量单位：克分别为：，由此估计这车苹果单个重量的期望值是．克．克．克．变式题：克1015015215314914814615115015214710149.8()149.8B.个苹果的重量的平均数为克，所以这车苹果单个重量的期望值是解克，析：故选4110128__________ABB总体分为，两层，其个体数之比为∶，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为例3.．考点3抽样方法中的计算问题BBB首先利用条件中的比例关系确定层抽取的样本个体数，然后利用层中甲、乙都被抽到的概率计算出层的个体数，进而按已知中的比例计算出总体的分析：个体数．2224842880.nBBnCBCn由条件易知层中抽取的样本数是，设层总体数是，则由层中甲、乙都被解析：总体中的个体抽到的概率是，可得为，所数以.解答分层抽样的计算必须紧紧抓住一样本容量每层抽取的个体数个关键比：抽样比总体个数每层个体总数所有的计算都是围绕这个比值【思维启迪】来进行的．•变式题：某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是____________．160150101601.240015110150115.50xxx易知抽取教师人数为，且样本容量与总体的个体数的比为设该学校教师的人数为，则，解得，即该学校解析：教师人数为的•备选例题：某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数为_____．分析：首先利用直方图求得在区间[4,5)上的频率，然后利用公式频数=样本容量´频率求得频数．114,51(0.050.100.150.4)0.34,510000.3.3频率由于直观图的组距为，因此，频率．组距于是由所有各段频率之和为，可得在区间的频率为，因此在区间上的数据的频数样本容量频率解析：1解答此类问题主要有四条途径：①利用所有分组对应的频率之和为；②利用公式：频率条形图的面积纵坐标横坐标，或利用公式频数样本容量频率；③利用频率分布图中相关数据；④利用频率分布表绘制频率分【思维启迪】布直方图．cardcard12cardAPAAcardIAAII准确的理解与把握事件类型：对于比较复杂的概率综合问题，一般都同时涉及几类事件，它们相互交织在一起，因此在解答此类题时，明确所涉及到的事件类型是关键．等可能事件概率的计算可借助集合知识求解，即利用公式，其中表示事件包含的所有结果的集合的元素个数，表示一次试验所产生的所有．结果的集合的．元素个数．4231重视数学思想与方法的渗透：概率知识的发生、发展和应用全过程都蕴涵着十分丰富的思想方法，如分类讨论，逆向思维等，几类基本事件概率公式就是三个模型，在运用时必须把握准确，形成模型思想．求复杂的概率问题主要有三种思路：将事件分解为几个互斥事件，然后求其概率和；将事件转化为几个独立事件，然后求．．其概率积；3.512常常考虑对立事件来处理．特别是计算含有“至多”、“至少”字眼的事件概率时，多考虑利用对立事件处理．高考对抽样方法的考查主要集中在分层抽样．解答此类试题时必须紧紧抓住以下关系：每个个体被抽到的概率相等；样本容量每层抽取的个体数主要步骤：总体个数每层个体．总数122631主要步骤：明确总体个数和样本容量；计算比例；计算出各层应抽取的个体数．解答频率分布直方图的相关问题，一般须抓住两个知识：频率为相应直方图的面积，即频率纵坐标．横坐标；频数总体个数概率，求得最后结果．(2011).从甲、乙等位同学中任选位去参加某项活动，则所选位中有甲但没有乙的概率为___________庆卷___重31028103C120823C28.28712030根据题意，从人中任取人参加活动，有种取法．有甲但没有乙的取法即从除甲乙之外的人中任取人，则所选位中有甲但没有乙的情况有种，故所概求解析：率为2(11)()1142.(201122)114本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为元不足小时的部分按小时计算．有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超四川卷过四小时．162分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；求甲、乙两人所付的租车费用之和小于元的概率．11114241111.2441141.4ABPAPB分别记甲、乙在三个小时以上且不超过四小时还车为事件、，则，答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为解析：，6111111()()4244221111113(.2442444362.4CPC记