高三数学理科二轮复习1-3-8直线与方程圆与方程

高考专题训练八直线与方程、圆与方程班级_______姓名_______时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是()A.－34，0B.－33，33C．[－3，3]D.－23，0解析：本小题主要考查直线与圆的位置关系、圆的方程与几何性质．如图，记题中圆的圆心为C(2,3)，作CD⊥MN于D，则|CD|＝|2k|1＋k2，于是有|MN|＝2|MD|＝2|CM|2－|CD|2＝24－4k21＋k2≥23，即4－4k21＋k2≥3，解得－33≤k≤33.答案：B2．(2011·潍坊市)若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是()A．x＋2y－3＝0B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＝0解析：由圆的几何性质知kPQ·kOM＝－1，∵kOM＝2，∴kPQ＝－12，故直线PQ的方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：B3．(2011·日照市)若直线xa＋yb＝1经过点M(cosα，sinα)，则()A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1D.1a2＋1b2≥1解析：由点M(cosα，sinα)可知，点M在圆x2＋y2＝1上，又直线xa＋yb＝1经过点M，所以|ab|a2＋b2≤1⇒a2＋b2≥a2b2，不等式两边同时除以a2b2得1a2＋1b2≥1，故选D.答案：D4．(2011·临沂市)已知直线x＋3y－m＝0与圆x2＋y2＝1交于A、B两点，则与OA→＋OB→共线的向量为()A.12，－33B.12，33C．(－1，3)D．(1，3)解析：根据题意|OA→|＝|OB→|＝1，故(OA→＋OB→)⊥AB→，直线AB的斜率为－33，故向量OA→＋OB→所在直线的斜率为3，结合选项知，只有选项D符合要求．答案：D5．(2011·烟台市)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()A．y2－4x＋4y＋8＝0B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0D．y2－2x－y－1＝0解析：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等，故可得a＝±2(舍负)，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0，故答案选C.答案：C6．(2011·山东省临沂市)已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：x－122＋y＋142＝12的切线，则此切线长等于()A.12B.32C.62D.32解析：由于点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，得x，y满足x＋2y＝3，又2x＋4y＝2x＋22y≥22x＋2y＝42，取得最小值时x＝2y，此时点P的坐标为32，34.由于点P到圆心C12，－14的距离为d＝32－122＋34＋142＝2，而圆C的半径为r＝22，那么切线长为d2－r2＝2－12＝62，故选C.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．圆心为原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．解析：本题考查了直线与圆的位置关系，在解题时应首先求得原点到直线的距离，即是圆的半径，写出圆的方程即可，题目定位于简单题．由题意可知，原点到直线x＋y－2＝0的距离为圆的半径，即r＝|0＋0－2|2＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝28．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．解析：本小题主要考查了直线与圆的知识，并且考查了圆关于直线对称的知识点．由题可知kPQ＝3－a－b3－b－a＝1，又klkPQ＝－1⇒kl＝－1，圆关于直线l对称，找到圆心(2,3)的对称点(0,1)，又圆的半径不变，易得x2＋(y－1)2＝1.答案：－1x2＋(y－1)2＝19．(2011·临沂)已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ中点为M(x0，y0)，且y0≥x0＋2，则y0x0的取值范围为________．解析：如下图所示，点M在射线AB上，射线AB的方程为y＝－12x－12x≤－53，点A的坐标是－53，13，根据y0x0的几何意义可知y0x0的取值范围是－12，－15.答案：－12，－1510．(2011·苏锡常镇)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是__________________．解析：∵(x－a)2＋(y－a)2＝4，∴圆心坐标为(a，a)，半径为2，圆心在直线y＝x上，只需考察圆心与原点之间的距离，先画个单位圆，由于圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的半径为2，当a＝22时，单位圆与圆(x－a)2＋(y－a)2＝4内切，此时只有切点到原点的距离是1，当a＝322时，单位圆与圆(x－a)2＋(y－a)2＝4外切，此时也只有切点到原点的距离是1，而当22a322时，单位圆与圆(x－a)2＋(y－a)2＝4相交于两个点，且恰有这两个交点到原点的距离为1；同理，当－322a－22时，单位圆与圆(x－a)2＋(y－a)2＝4也相交于两个点，且恰有这两个交点到原点的距离为1，即当22a322或－322a－22时，单位圆与圆(x－a)2＋(y－a)2＝4相交于两个点，在圆(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在这两个交点到原点的距离为1.答案：22a322或－322a－22三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)已知，如图，⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.(1)求实数a、b间满足的等量关系；(2)求线段PQ长的最小值；(3)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时⊙P的方程．解：(1)接接OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.又由已知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，即(a2＋b2)－12＝(a－2)2＋(b－1)2.化简得实数a、b间满足的等量关系为2a＋b－3＝0.(2)由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3.|PQ|＝a2＋b2－1＝a2＋－2a＋32－1＝5a2－12a＋8＝5a－652＋45.故当a＝65时，|PQ|min＝255，即线段PQ长的最小值为255.(3)设⊙P的半径为R，⊙P与⊙O有公共点，∵⊙O的半径为1，∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，即R≥|OP|－1且R≤|OP|＋1.而|OP|＝a2＋b2＝a2＋－2a＋32＝5a－652＋95.故当a＝65时，|PO|min＝355，此时b＝－2a＋3＝35，Rmin＝355－1.则半径取最小值时⊙P的方程为x－652＋y－352＝355－12.12．(13分)(2011·福建)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．解：解法一：(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以0－m2－0×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)从而圆的半径r＝|MP|＝2－02＋0－22＝22.故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)因为直线l的方程为y＝x＋m所以直线l′的方程为y＝－x－m.由y＝－x－m，x2＝4y得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切，当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．解法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则4＋m2＝r2，|2－0＋m|2＝r，解得m＝2，r＝22.所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)同解法一．