高三数学第一轮复习课时作业(52)圆锥曲线中的热点问题

课时作业(五十二)第52讲圆锥曲线中的热点问题时间：45分钟分值：100分基础热身1．2011·山东实验中学二模过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝()A．－2B．－12C．－4D．－1162．2011·银川一中二模双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，则b2＋13a的最小值为()A.33B.233C．2D．13．2011·福州模拟已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．5B．8C.17－1D.5＋24．2011·广东六校联考过点P(－3,0)的直线l与双曲线x216－y29＝1交于点A，B，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，弦AB的中点为M，OM的斜率为k2(O为坐标原点)，则k1·k2＝()A.916B.34C.169D．16能力提升5．2011·哈九中月考抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是()A．(1,2)B．(0,0)C.12，1D．(1,4)6．2011·浙江五校联考已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋2)D．(2,1＋2)7．2011·开封模拟已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.37168．若AB为过椭圆x225＋y216＝1中心的弦，F1为椭圆的左焦点，则△F1AB面积的最大值为()A．6B．12C．24D．489．设P为双曲线x2－y212＝1右支上的一点，F1、F2是该双曲线的左、右焦点．若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2等于()A.π4B.π3C.π2D.2π310．2011·银川一中二模若A为抛物线y＝14x2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则·等于________．11．2011·龙岩模拟已知曲线x2a－y2b＝1与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且·＝0(O为原点)，则1a－1b的值为________．12．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别是e1，e2，则当它们的实轴，虚轴都在变化时，e21＋e22的最小值是________．13．2011·重庆卷设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．14．(10分)2011·合肥高三质检已知抛物线y2＝4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证：|MA|、|MC|、|MB|成等比数列；(2)设＝α，＝β，试问α＋β是否为定值．若是，求出此定值；若不是，请说明理由．15．(13分)2011·山东实验中学二模已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝22，点D(0,1)在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G(t,0)，求点G横坐标t的取值范围．(3)试用t表示△GAB的面积，并求△GAB面积的最大值．难点突破16．(12分)2011·山东卷已知动直线与椭圆C：x23＋y22＝1交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝62，其中O为坐标原点．(1)证明x21＋x22和y21＋y22均为定值；(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值；(3)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝62？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．课时作业(五十二)【基础热身】1．D解析抛物线的焦点坐标是0，18，设直线AB的方程为y＝kx＋18，代入抛物线方程得2x2－kx－18＝0，根据韦达定理得x1x2＝－116.2．B解析根据基本不等式b2＋13a≥2b3a，只要根据双曲线的离心率是2，求出ba的值即可．由于已知双曲线的离心率是2，故2＝ca＝a2＋b2a2＝1＋ba2，解得ba＝3，所以b2＋13a的最小值是233.3．C解析点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，即点P到Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值为17－1.4．A解析A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M的坐标是x1＋x22，y1＋y22，AB的斜率k1＝y2－y1x2－x1，OM的斜率k2＝y1＋y2x1＋x2，故k1·k2＝y22－y21x22－x21，根据双曲线方程y2＝916(x2－16)，故y22－y21＝916(x22－x21)，故k1·k2＝916.【能力提升】5．C解析抛物线上的点到直线y＝4x－5的距离是d＝|4x－y－5|17＝|4x－4x2－5|17＝4x－122＋417，显然这个函数当x＝12时取得最小值，此时y＝1.6．B解析根据对称性，只要∠AEFπ4即可．直线AB：x＝－c，代入双曲线方程得y2＝b4a2，取点A－c，b2a，则|AF|＝b2a，|EF|＝a＋c，只要|AF||EF|就能使∠ABFπ4，即b2aa＋c，即b2a2＋ac，即c2－ac－2a20，即e2－e－20，即－1e2.又e1，故1e2.7．A解析点P到直线l2的距离等于到焦点F的距离，故所求的线段之和的最小值就是焦点F到直线l1的距离，即|4＋6|32＋42＝2.8．B解析设AB的方程为x＝my，代入椭圆方程得16m2y2＋25y2＝400⇒y＝±2016m2＋25，所以S△ABF1＝12c|y1－y2|＝32·22016m2＋25≤3·4＝12.9．C解析F1(－13，0)，F2(13，0)，|F1F2|＝213，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积S＝12×213|y0|＝12，故y20＝12213，代入双曲线方程得x20＝2513，根据对称性取点P51313，121313，此时|PF1|＝51313＋132＋1213132＝1318132＋12132＝62(32＋22)13＝6，根据双曲线定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝4，即三角形∠F1PF2是三边长分别是6,4,213，由于62＋42＝(213)2，故∠F1PF2＝π2.10．－3解析抛物线方程为x2＝4y，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0,1)．设直线BC的方程为y＝kx＋1，代入抛物线方程整理得x2－4kx－4＝0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1，根据韦达定理代入得结果是－3.11．2解析将y＝1－x代入x2a－y2b＝1得，(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2aa－b，x1x2＝a＋aba－b.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以2a＋2aba－b－2aa－b＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以1a－1b＝2.12．4解析e21＝a2＋b2a2，e22＝a2＋b2b2，则e21＋e22＝a2＋b2a2＋a2＋b2b2＝2＋b2a2＋a2b2≥2＋2＝4.13.6－1解析由题意知，半径取得最大值的圆的圆心必在x轴上．设圆心C(a,0)(0＜a＜3)，则半径为3－a，于是圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2，将抛物线方程y2＝2x代入圆的方程得(x－a)2＋2x＝(a－3)2，即x2－2(a－1)x＋6a－9＝0，由Δ＝4(a－1)2－4(6a－9)＝0，即a2－8a＋10＝0，解得a＝4±6，∵0＜a＜3，∴a＝4－6.故圆C的半径能取到的最大值为3－a＝6－1.14．解答(1)证明：设直线l的方程为：y＝kx＋2(k≠0)，联立方程：y＝kx＋2，y2＝4x，得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0，①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C－2k，0，则x1＋x2＝－4k－4k2，x1x2＝4k2，②|MA|·|MB|＝1＋k2|x1－0|·1＋k2|x2－0|＝4(1＋k2)k2，而|MC|2＝1＋k2－2k－02＝4(1＋k2)k2，∴|MC|2＝|MA|·|MB|≠0，即|MA|、|MC|、|MB|成等比数列．(2)由＝α，＝β得，(x1，y1－2)＝α－x1－2k，－y1，(x2，y2－2)＝β－2k－x2，－y2，即得α＝－kx1kx1＋2，β＝－kx2kx2＋2，则α＋β＝－2k2x1x2－2k(x1＋x2)k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，由(1)中②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值，且定值为－1.15．解答(1)b＝1，e2＝c2a2＝a2－b2a2＝12，∴a2＝2，a＝2，∴椭圆E的方程为x22＋y2＝1.解法一：(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入x22＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.∵直线AB过椭圆的右焦点F2，∴方程有两个不等实根．记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－21＋2k2，x0＝12(x1＋x2)＝2k22k2＋1，y0＝k(x0－1)＝－k2k2＋1，∴AB垂直平分线NG的方程为y－y0＝－1k(x－x0)．令y＝0，得t＝x0＋ky0＝2k22k2＋1－k22k2＋1＝k22k2＋1＝12－14k2＋2.∵k≠0，∴0t12.∴t的取值范围为0，12.(3)S△GAB＝12·|F2G|·|y1－y2|＝12|F2G||k|·|x1－x2|.而|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝8(k2＋1)2k2＋1，0t12，由t＝k22k2＋1，可得k2＝t1－2t，k2＋1＝1－t1－2t，2k2＋1＝11－2t.所以|x1－x2|＝22(1－2t)1－t1－2t.又|F2G|＝1－t，所以S△GAB＝12(1－t)t1－2t·22(1－2t)1－t1－2t＝2(1－t)3t0t12.令f(t)＝t(1－t)3，则f′(t)＝(1－t)2(1－4t)．可知f(t)在区间0，14上单调递增，在区间14，12上单调递减．所以，当t＝14时，f(t)有最大值f14＝27256.所以，当t＝14时，△GAB的面积有最大值3616.解法二：(2)设直线AB的方程为x＝my＋1，由x＝my＋1，x22＋y2＝1，可得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则y1＋y2＝－2mm2＋2，y1y2＝－1m2＋2.可得y0＝y1＋y22＝－mm2＋2，x0＝my0＋1＝2m2＋2.∴AB垂直平分线NG的方程为y－y0＝－m(x－x0)．令y＝0，得t＝x0＋y0m＝2m2＋2－1m2＋2＝1m2＋2.∵m≠0，∴0m12.∴t的取值范围为0，12.(3)S△GAB＝12·|F2G|·|y1－y2|，而|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝8(m2＋1)m2＋2，由t＝1m2＋2，而得m2＋2＝1t.所以|y1－y2|＝81t－11t2＝8t(1－t).