高三数学复习建议―――集合

高三数学复习建议―――集合、逻辑联结词、函数部分东莞中学：杨永康一、集合与常用逻辑用语.I．集合.【考纲要求】（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算.【课时建议】3－4课时【复习建议】集合是高中数学的基本语言，学生通过学习集合知识，有利于简明准确地表述数学内容。学生学习集合的初步知识是掌握和使用数学语言的基础。在进行复习时，不要追求难度、深度，由于在历届高考题中集合题型比较简单，建议利用3－4课时解决以下问题：（1）集合的概念与表示法：理解集合的三种表示方法，体会代表元的作用。能通过集合与集合的包含关系求待定元的值。例如：1．用自然语言描述下列集合并化简.（1）2{|23,}AyyxxxR（2）2{|10}Axxxax关于的方程有实根（3）2{|10}Baxxax关于的方程有实根2.区分下列集合所表示的意义.}12|{2xxyxA；}12|{2xxyyB；}12|),{(2xxyyxC；}12|{2xxxxD；},,12|),{(2ZyZxxxyyxE3.求满足下列条件的集合M的个数（1）{1,2,3,4}M（2）{1,2}{1,2,3,4,5}M4.已知集合2{|8150}Axxx，集合{|10}Bxax，若BAØ，求实数a的值.5.已知集合2{|680}Axxx，22{|430}Bxxaxa若ABØ求实数a的取值范围6．若2{|0}Axxpxq，2{|320}Bxxx满足ABB，求,pq满足的条件.（2）集合与集合的运算：能解决用列举法和不等式关系给定的集合的交、并、补运算。能通过集合的运算求参数的取值范围。例如：1.设全集|010,UxxxN，若，{1,2,3,7}A，{2,3,5,6,8}A，求(1)BA(2)()UABð(3)()()UUAB痧2.设集合2{|60}Axxx,集合B2{|0}xxx,全集RU求(1)BA(2)()UABð(3)()()UUAB痧3.已知2{,1,3}Aaa，2{3,21,1}Baaa满足{3}AB，求实数a的值4.已知集合32|320Axxxx，2|0Bxxaxb，若|02ABxx，|2ABxx，求实数a、b的值．II.常用逻辑联结词部分.【考纲要求】（1）命题及其关系①了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题.②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系.（2）简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.（3）全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义.②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【新增内容】全称量词与存在量词:新增内容要求比较低，只局限于判断全称命题与特称命题及其真假；能写出含有一个量词的全称或特称命题进行否定。【课时建议】3课时【复习建议】（1）通过对命题四种形式的关系分析，体会反证法的证题思想和依据。（2）能用逻辑联结词写出两个简单命题的复合命题并根据真值表判断真假。体会否命题与命题的否定的区别.例如：1.给定的简单命题A：214,xxxR和B：2320,xxxR写出他们的,,ABABA,并指出其真假.2.出命题P“若1x则(1)(2)0xx”的否命题和P，指出它们的区别。3.设P：方程210xmx有两个不等的负根.:q方程244(2)10xmx无实根.若pq为真，pq为假.求实数m的取值范围.4.若12122()ppqq，证明：关于x的方程2110xpxq和2220xpxq中至少有一个有实根.（3）能判断、证明和探求命题的充要条件。（重点）例如：1.1）如果A是B成立的必要不充分条件，B是C成立的充要条件，D是C成立的充分不必要条件，那么D是A成立的什么条件？（2设M，N是简单命题，则“MN为假”是，“MN为假”的什么条件？则“MN为真”是，“MN为真”的什么条件？2.已知:|12|5Ax，22:4490,(0)Bxxmm若A是B成立的充分不必要条件，求实数m的范围.3.证明:不等式aaxax120对一切实数都成立的充要条件是:540a4.已知关于x的方程2(1)(2)40,()axaxaR，求方程有两正根的充要条件.（4）理解全称命题与特称命题的构成，能判断其真假；能写出含有一个全称量词与存在量词的的命题的否定。例如：1.指出下列命题是特称命题还是全称命题，并指出它们的真假（1）有理数都能写成分数（2）两个有理数之间，都有一个有理数。（3）不等式220xx恒成立（4）,,sin()sinsinR2.写出下列命题的否定,并判断真假.（1）所有正方形都是矩形.（2）xR，2104xx（3）xR，2220xx（4）xQ，211132xx是有理数.II函数部分【考纲要求】（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点.④知道指数函数是一类重要的函数模型.（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数xya与对数函数logayx互为反函数（0,1aa）.（4）幂函数①了解幂函数的概念.②结合函数12231,,,,yxyxyxyyxx的图像，了解它们的变化情况.（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.（6）函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.【地位分析】函数是高中数学的重要内容，函数概念及其所反映的数学思想已经渗透到数学的各个领域：函数与代数式、函数与方程、函数与不等式、函数与数列、函数与圆锥曲线及函数与微积分都有密切的联系。因此函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。【与旧教材比较】【新增内容】：函数的奇偶性、幂函数、函数的零点与方程的根、二分法求方程的近似根。（1）函数的奇偶性由三角函数内容提升到函数部分，主要优化知识的系统性、完备性。（2）幂函数要求层次较低，只要求能借助研究函数性质的思想方法，会探讨五个简单幂函数的性质。（3）函数与方程是新课标新增内容课标要求的层次相对较低，但方程的根与函数的零点是“数形思想”的一个知识点，建议在这一部分适当推广到任意函数。结合图象补充一元二次不等式的解法，处理有关二次三项式大于零的恒成立问题。了解根的存在性定理，学会利用二分法求方程的近似根，体会算法思想。【淡化内容】：映射（了解）、反函数（课本一带而过）。【强化内容】：分段函数课本用较大篇幅，借助大量例题分析如何建立分段函数模型，复习时应重视。【课时建议】23－25课时.【复习建议】1、函数表示法及解析式求解：理解函数解析式求解的几种基本方法。（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法.（2）已知()fx求[()]fgx或已知[()]fgx求()fx：换元法、配凑法.（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()fx满足某个等式，这个等式除()fx外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．（特别是分段函数）例如：（1）已知3311()fxxxx，求()fx.（2）已知2(1)lgfxx，求()fx.（3）已知()fx是一次函数，且满足3(1)2(1)217fxfxx，求()fx.（4）已知()fx满足12()()3fxfxx，求()fx．2.函数的定义域：理解求函数定义域的基本思想和方法，适度增加简单抽象函数定义域.例如：（1）已知函数()fx的定义域为[-1,3]，求函数(32)fx的定义域.（2）已知函数2(23)fxx的定义域为[0，3]，求函数()fx的定义域.3.函数值域：课标要求比原教材有所降低，建议不要追求深度、难度。重点解决以下几种题型的值域问题。（1）一次函数值域：定义域为R和给定区间.（2）二次函数值域：定义域为R和给定区间,可适当补充含参讨论求最值，例如区间定、轴不定和轴定、区间不定的最值问题。（3）补充简单分式函数值域：例如，求函数3123xyx、2122xxy、（变量分离法）2212xxyxx的值域.（4）复合函数值域：例如,求函数2232xxy,2(25)2logxxy的值域.4.函数的单调性(与旧教材要求一样)（1）能用函数单调性的定义证明函数的单调性.（2）求复合函数的单调区间.（3）比较大小.（4）求值域.（5）解不等式.（6）利用函数的单调性解决问题.5.函数的奇偶性（1）掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性.（2）求对称区间的解析式.（3）利用函数的奇偶性解决问题.例如：1.判断下列函数的奇偶性(1)xxxxf353)((2)2241)(xxxxf(3))2|(|)(2xxxxf2.如果cbxaxxf2)(是偶函数,求cba,,满足的条件.如果cbxaxxf2)(是奇函数,求cba,,满足的条件.3.已知)(xf是偶函数,当0x时,)(||)(2xxxxf,求0x时,)(xf的解析式4.已知函数)(xf是定义在R上的偶函数,且在]2,5[上是增函数,判断)(xf在]5,2[的单调性,并加以证明.5.已知)(xf是定义在R上的偶函数,且在),0[上是增函数,又1)3(f,求解不等式1)512(mf6.基本初等函数（与原教材类似），加强应用.7.函数图象及变换：函数图象的平移变换和对称变换。8.函数与方程：（1）理解函数的零点和方程的根的关系、根的存在性定理。（2）结合函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.例如：函数2()2fxkxkx有且只有一个零点，求实数k的取值范围.函数2()(3)1fxmxmx在原点右侧至少有一个零点，求m的取值范围.利用二分法求方程322360xxx在区间[0,4]的近似根.（精确到0.1）III.导数及其应用【考纲要求】（1）导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景.②理解导数的几何意义.（2）导数的运算①能根据导数定义，求函数231,,,,,ycyxyxyxyyxx的导数.②能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））