高等代数§8.4矩阵相似的条件

矩阵相似的条件主讲:向大晶§4矩阵相似的条件一、关于矩阵系数多项式的讨论二、矩阵相似的条件1.矩阵系数多项式的运算2.矩阵系数多项式的余式定理1)矩阵系数多项式可自然地定义加法、数乘、2.矩阵系数多项式的余式定理1.矩阵系数多项式的运算相等。2)矩阵系数多项式可以定义乘法，但应注意1)矩阵系数多项式可自然地定义加法、数乘、交换律不成立（有“左、右乘”之分）。3)矩阵系数多项式的乘法，不满足“次数规律”．Lemma１设()U0,U使得0V0()()()UEAQU是m次nn的矩阵，而A为nn数字矩阵，则存在矩阵()Q与数字矩阵也存在矩阵()P与数字矩阵使得0()()()VPEAVProofLemma2与EAEB等价的充分必要条件是存在可逆(满秩的)数字矩阵0,U使得0V00()EAUEBVLemma2与EAEB条件是存在可逆(满秩的)数字矩阵0,U使得0V00()EAUEBVTheorem2则,,nnABPA与B相似的充分必要条件是EA与EB等价Definition称EA的不变因子为A的不变因子.Corollary,nnABP，则A相似于BAB与有相同的不变因子Example1232,1195AB设问是否相似？A与BB当0m00()0,QUDm时，令即得。引理成立。假设对次数m的矩阵命题成立,考虑次数的情形。因为1120102()()()mmmmUEADDADDD由归纳假设，存在矩阵及数字矩阵0()Q,R使100100()()()()()()(())mmUEADEAQRUEADQR令100()(),mQDQ0UR，则0()()().UEAQU据归纳原理引理获证。证毕。返回用数学归纳法：设1010(),,0mmnnmiUDDDDPD