您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 建筑/环境 > 房地产 > 高等代数教案-1.1数的基本知识
第一章多项式理论课题§1.1数的基本知识授课时间授课时数2学时教学目的及要求1.使学生了解数的整除性质,带余除法和数的最大公因数的求取方法;2.使学生了理解并掌握数的互素概念与性质,了解算数基本定理;3.使学生理解数域和数环的定义和判定方法.教学重点1.数的整除性和互素性;2.数域和数环的概念和判定方法.难点1.数的整除与互素的概念和基本性质;2.数域和数环概念的理解.教学方法讲授法教学的主要内容和过程注记常用数集:自然数集合:N;整数集:Z;有理数集:Q;实数集:R;复数集:C.定义1设,Zab,若存在Zq,使等式abq(1)成立,则称b整除a,或a被b整除,用记号|ba表示;若满足(1)式的整数q不存在,则称b不能整除a,或a不能被b整除,用记号|ba表示.如果|ba,我们说b是a的因数或约数,而a是b的倍数.由整除的定义,易得下述结果:定理1.1.1若|cb且|ba,则|ca.定理1.1.2若|ma且|ba,则,Zpq有|mpaqb.注1:由于整数加法满足结合律,故定理1.1.2可以推广为任意有限多个整数的情形.定理1.1.3(带余除法)若,Zab,0b,则存在唯一的,Zqr使abqr,0rb.(2)定义2设,,Zabd若|da,|db,并且对任意的Zh,只要|ha且|hb就有|hd,则称d是a和b的一个最大公因数.注2:定义2包含两层含义:(1)|da,|db说明d同时是a和b的因数,可称为a和b的公因数;(2)|hd说明d是a和b的任意公因数的倍数,表明了d的最大性.注3:Za,由于00a,故a是a和0的公因数,很显然,a是a和0的最大公因数.注4:设,Zab,如果|ab,则a是a和b的最大公因数.教学的主要内容和过程注记定理1.1.4设,,Zabc满足abqc,Zq,则两组数,ab与,bc有相同的最大公因数.由定理1.1.4立即可的:定理1.1.5对于任意的,Zab,a和b的最大公因数都存在.注5.定理1.1.5的证明过程给出了求两个数的最大公因数的方法.定理1.1.6设d是a和b的最大公因数,则d是a和b的最大公因数dd.注6定理1.1.6一方面表明a和b的最大公因数不唯一;但另一方面又揭示了虽然a和b的最大公因数不唯一,但是它们之间只是相差一个符号.通常我们用符号,ab表示a和b的正的最大公因数与定义2类似,可以给出任意有限多个整数的最大公因数:定义3设Zia,1,2,,in,Zd,如果|ida,1,2,,in,并且对Zh,只要|iha,1,2,,in,就有|hd,则称d是12,,,naaa的最大公因数.通常用符号12(,,,)naaa表示12,,,naaa的正的最大公因数.如果12(,,,)1naaa,则称12,,,naaa互质或互素.定理1.1.7设,Zab是,则a和b互质存在,Zuv使1aubv.(3)定理1.1.8设,,Zabc.(1)若|abc且,1ab,则|ac;(2)若|ac,|bc且,1ab,则|abc.定义4设Zp且1p,如果p不能写成两个比p小的正整数的乘积,则称p是质数或素数.注7由定义4,显然可得:p是质数p除了1和p以外没有其它的正因数.定理1.1.9设p是素数.(1)对任意的Za有|pa或,1pa;(2)对,Zab,|pab|pa或|pb.定理1.1.10(算数基本定理)任意一个大于1的整数n都可写成有限个素数的乘积,即1212srrrsnppp.(4)其中12,,,sppp是互不相同的素数,1,2,,iris是正整数.如果不考虑因数的次序,该分解式是唯一的.由于任意两个整数的加,减和乘的结果还是整数,所以可以说在整数集Z上可以进行加,减和乘法三种运算,并且其结果还在Z中.Z的这种特性通常我们称为Z关于加,减和乘法三种运算是封闭的.一般地,我们有如下定义:定义5设S是一个非空的数集,如果S关于加,减和乘法三种运算封闭,则乘S是一个数环.注8显然,Z,Q,R,C均为数环,分别称Z为整数环.但N不是数环,因为它对减法不封闭.例1由数字0组成的单元素集合0S是一个数环.定理1.1.5证明重要!教学的主要内容和过程注记例2设m是正整数,则集合|ZSkml是一个数环.值得注意的是:整数环Z关于除法运算是不封闭的,但是数环Q,R,C关于除法运算都是封闭的,于是,我们又有定义6设F是一个含有非零元素的数环,如果F关于数的除法运算(除数不为0)也是封闭的,则称F是一个数域.注9显然数域是特殊的数环.数环Q,R,C均为数域,分别称为有理数域,实数域和复数域.但整数环Z不是数域.例3设5|,QFabab,则F是一个数域.设F是任意一个数域,0aF,则由定义6可知0aaF,1aFa,112F,123F,,所以每一个正整数mF.又由于0mmF,所以可得ZF.而任意一个有理数都可以写成两个整数的商(有理数的定义),所以QF.由此我们便得定理1.1.11任何一个数域都包含有理数域.注10定理1.1.11说明:有理数域是最小的数域.例3需要给出详细的验证过程!作业P9第9题,第10题参考文献1.张禾瑞,郝丙新,《高等代数》(第四版),高等教育出版社,1999年.2.北京大学数学系,《高等代数》(第三版),高等教育出版社,1999年.3.北京大学几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第二版),高等教育出版社,1988年.4张贤科,汗浦华,《高等代数》(第二版),清华大学出版社,2004年.教学后记本节内容大部分学生较为熟悉的数学常识性知识,理解上难度不大,课堂教学效果很好.
本文标题:高等代数教案-1.1数的基本知识
链接地址:https://www.777doc.com/doc-1936601 .html