高等代数第七章线性变换复习讲义

第七章线性变换一.线性变换的定义和运算1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的一个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的一个线性变换。（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V.它们都是V的线性变换。（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P.2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A（α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,αs线性无关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(αs)线性无关。3.线性变换的运算运算公式定义线性变换性质乘积(AB)(α)=A(B(α))(α∈V)是(AB)(α+β)=(AB)(α)+(AB)(β);(AB)(kα)=k(AB)(α),这说明AB是线性的.有结合律:εA=Aε=A,一般无交换律，消去律。和（加法）（A+B）（α）=A(α)+B(α)(α∈V)是(A+B)（α+β）=（A+B）（α）+（A+B）（β）；（A+B）（kα）=k（A+B）（α）;这是A+B是线性变换。a.有结合律和交换律，A+(B+ζ)=（A+B）+ζ，A+B=B+A；b.零变换ο：A+ο=A；c.负变换也是线性的：（-A）（α）=-A（α）d.线性变换的乘法对加法有左右分配律：A(B+ζ)=AB+Aζ，（B+ζ）A=BA+ζA；数量乘法kA=KA即(kA)(α)=K(A(α))=KA(α)是它有结合律和两种分配律逆变换A-1=B，AB=BA=ε是线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A-1也是线性变换。A-1（α+β）=A-1（α）+A-1(β)，A-1(α)=kA-1(α)幂AA…A=An,A0=EA（m+n）=Am+An,(Am)n=Amn,A-n=(A-1)n;值得注意的是（AB）n不等于AnBn多项式f（A）=amAm+…+a0+ε是如果在P[x]中有h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)+g(x)，那么h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)+g(A)，特别地，f(A)g(A)=g(A)f(A)，即同一个线性变换的多项式的乘法是可变换的。总结：线性空间上V的全体线性变换，也构成P上一个线性空间。4.线性变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，如果线性变换A和B在这组基上的作用相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B.（2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，对于V中任意一组向量α1，α2，…,αn,存在唯一一个线性变换A使Aεi=αi,i=1,2，…,n.二．线性变换的矩阵1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的一组基，A是V中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εnAε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn……Aεn=a1nε1+a2nε2+…annεn用矩阵表示就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中a11a12……a1na21a22……a2nA=……an1an2……ann称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。2.线性变换与其矩阵的关系（1）线性变换的和对应于矩阵的和；（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；（4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。3.α与A(α)在同一组基下的坐标之间的关系设A在基α1，α2，…,αn下的矩阵为A，对任意α∈V，设α在基α1，α2，…,αn下的坐标为（x1,x2,…,xn）,即α=（α1，α2，…,αn）x1，则A（α）=A（（α1，α2，…,αnX1)=[A(α1,α2,…,αn)]x1=(α1,α2,…,αn)Ax1.即A（α）在基α1,…,…………XnxnXnxnαn下的坐标是A（α）=Ax14.同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系设α1，α2，…,αn和β1，β2，…,βn是V的两组基，且α1，α2，…,αn到β1，β2，…,βn的过渡矩阵为T，即（β1，β2，…,βn）=（α1，α2，…,αn）T，T是n级可逆矩阵，若A在基α1，α2，…,αn下的矩阵为A，则A在基β1，β2，…,βn下的矩阵为T-1AT，它和A在基α1，α2，…,αn下的矩阵A是相似的，即同一个线性变换在不同基下的矩阵相似。三．特征值和特征向量1．特征值与特征向量的定义设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数λ0，存在一个非零向量ξ，使得Aξ=λ0ξ,那么λ0称为A的一个特征值，而ξ称为A的属于特征值λ0的一特征向量。2．特征矩阵和特征多项式的定义设A是数域P上一n级矩阵，λ是一个文字，矩阵λE-A的行列式|λE-A|=λ-a11-a12…-a1n称为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式。-a21λ-a22…-a2n……-an1-an2…λ-ann3.求线性变换A的特征值和特征向量的步骤（1）在线性空间V中取一组基ε1，ε2，…,εn,写出A在这组基下的矩阵A；（2）求出A的特征多项式|λE-A|在数域P中的全部根，即为A（或者A）的全部特征值；（3）对于每个特征值λ，求解齐次线性方程组（λE-A）X=0，求得的非零解，即为对应于λ的特征向量。4.相关性质列举（1）线性变换A（或n级方阵A）的属于不同特征值的特征向量线性无关。（2）设λ0是n级方阵A的特征值，则a.任意k∈N，λ0k是Ak的特征值；b．任意l∈P，lλ0是lA的特征值；c．设f（x）是多项式，则f（λ0）是f（A）的特征值；d．若A可逆，则λ0≠0，且1/λ0是A-1的特征值。（3）若λ0是线性变换A（或n级方阵A）的特征值。属于λ0的所有特征向量再添加零向量构成V（或Pn）的子空间，称这个子空间为A（或A）的关于特征值λ0的特征子空间，记作Vλ0，而维（Vλ0）为（λ0E-A）X=0的解空间的维数。（4）若λ1，λ2，…,λs是线性变换A（或n级方阵A）的全部互异的特征值，则和Vλ1+…+Vλs是直和。若维（Vλ1）+…+维（Vλs）=n，则V=Vλ1+…+Vλs,且Vλ1，…，Vλs的基的联合是V的一组基，在此基下，A的矩阵是准对角型。（5）A∈Pn×n,设λ1，…,λs(可能有相同的)为A的全部特征根，则λ1+λ2+…+λn=(a11+…+ann)称为A的迹。四．矩阵的相似和相似对角化（1）矩阵相似的定义设A.B为数域P上两个n级矩阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称A和B相似，记为A~B。（2）矩阵相似的性质a.矩阵的相似是一种等价关系，即满足反身性、对称性和传递性；b．线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。（3）n级方阵A相似对角化的判别设P为数域，）A∈Pn×n,设λ1，…,λs为A的所有互异的特征值，则下列条件等价：a.A与数域P上的对角矩阵相似；b.在P中，A有n个线性无关的特征向量；c.Σ（λi的重数）=n，且Vλi的维数=λi的重数，i=1,2，…,s;d.Σdim（Vλi）=n；e.A的最后一个不变因子无重根；f.A的初等因子是一次的。五．线性变换的值域与核1.定义：设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用AV表示；所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A-1（0）表示。线性变换的值域和核都是V的子空间。2.值域和核的性质（1）设A是n维线性空间V的一个线性变换，ε1，ε2，…,εn是V的一组基，在这组基下的矩阵是A，则有a.AV=L(Aε1，Aε2，…,Aεn);b.A的秩等于A的秩。(2)设A是线性空间V的一个线性变换,则AV的一组基的原像及A-1（0）的一组基起来就是V的一组基，并且有A的秩+A的零度=n。（3）值域和核都是V的不变子空间。（4）若V是有限维线性空间，则A是单射＜＝＞A-1（0）=﹛0﹜＜＝＞AV=V＜＝＞A是满射。（5）A的秩等于A的值域AV的维数，A的零度等于A-1（0）的维数。六．不变子空间1、不变子空间的定义为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.在3V中，设是数量变换，即有一个确定的数k，使得对任意k)(,3V，设W是3V中过原点的一个平面，W是3V的一个子空间，对W中每一个向量，在作用之下的像)(仍是W中的向量，这样的子空间W就是的不变子空间.定义1设是F上向量空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间，若W中向量在下的像仍在W中，即对于W中任一向量，都有W)(，则称W是的一个不变子空间，或称W在之下不变.例1向量空间V本身和零子空间是V的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.例2向量空间V的任一子空间都是数量变换的不变子空间.例3在R[x]中，令x)(f(f(x))，对任意][],[)(xRxRxfn是R[x]的子空间，并且]x[nR是的不变子空间.例4设是3V中以过原点的一条直线L为轴,旋转角的变换,则L是的一维不变子空间;过原点且与L垂直的平面H是的一个二维不变子空间.2、不变子空间的判断下面给出一种判断不变子空间的方法定理7.4.1设是n维向量空间V的一个线性变换，W是V的子空间，r21,,,是W的基.则W是的不变子空间的充要条件是)(,),(),(r21在W中.设W是向量空间V的关于线性变换的不变子空间，那么对于任意的W，必有W)(，因此也可看作是向量空间W的一个线性变换，用W表示，即对于任意W，)()(W若W，那么)(W就没有意义.W叫做在W上的限制.4、不变子空间与线性变换的矩阵的关系设是n维向量空间V的一个线性变换，W是的一个非平凡不变子空间.在W中取一个基r21,,,，把它扩充成V的一个基},,,,,,{1r21nr，由于),,2,1()(riWi，故可设rraaa12211111)(rraaa22221212)(…………rraaar2r21r1r)(nrnaaaa1,1r1r1rr1rr11r11r)(，，，，…………nnnrnrrrnnnaaaa1,111)(因此，关于这个基的矩阵为,000002311,,11,11,111,1111AAAaaaaaaaaaaaannrnnrrrrnrrrrrnrr这里1A是W关于W的基r21,,,的矩阵.4.不变子空间与空间分解（1）如果V可以分解成两个非平凡不变子空间1W与2W的直和,21WWV那么选取1W的一个基r21,,,和2W的一个基n1,,r，凑成V的一个基nr,,,,,,1r21，当1W和2W都在下不变时，关于这个基的矩阵是2100AAA这里1A是r阶矩阵，2A是n-r阶矩阵，它们分别是1W关于基r21,,,的矩阵和2W关于基n1,,r的矩阵.（2）若V可分解成s个非平凡子空间s21,,,的直和，并且每一iW都是的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V的基，关于这个基的矩阵就为分块对角形矩