高等几何试卷及答案

第1页共4页《高等几何》考试试题A卷（120分钟）一、填空题（2分12=24分）1、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形；2、直线0521xx上无穷远点坐标为：（5，-1，0）3、已知3),(4321llll,则),(1234llll3),(4231llll-24、过点A(1,i,2)的实直线的齐次方程为：0231xx5、方程065222121uuuu表示的图形坐标（1,2,0）（1,3,0）6、已知OX轴上的射影变换式为312'xxx，则原点的对应点-317、求点)0,1,1(关于二阶曲线054753323121232221xxxxxxxxx的极线方程063321xxx8、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，则),(DEBCA=-19、一点列到自身的两射影变换a）：21，32，43；b）：10，32，01其中为对合的是：b10、求射影变换012'的自对应元素的参数111、两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应12、直线02321xxx上的三点)1,3,1(A，)1,5,2(B，)0,2,1(C的单比)(ABC=1二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：130xx与23'0xx且'2'10。解：射影对应式为'2'10。题号一二三四五六七八合计分数2410101010121212100得分第2页共4页由两线束的方程有：1233,'xxxx。将它们代入射影对应式并化简得，2122313320xxxxxxx此即为所求二阶曲线的方程。三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分）证明：三点形ABC和三点形CBA内接于二次曲线（C），设ABCB=DABCA=EBABC=DBAAC=E，则),,,(BABAC),,,(BABAC所以，),E,D,(BA),,,(BABAC),,,(BABAC)D,,,E(AB即),E,D,(BA)D,,,E(AB这两个点列对应点的连线AC，BC，AC,BC连同这两个点列的底AB，BA属于同一条二级曲线（C），亦即三点形ABC和三点形CBA的边外切一条二次曲线。四、已知四直线1l,2l,3l,4l的方程顺次为12x-2x+3x=0，13x+2x-32x=0,17x-2x=0，15x-3x=0,求证四直线共点，并求（1l2l,3l4l）的值。（10分）解：因为017213112=0且105017213=0所以1l,2l,3l,4l共点。四直线与x轴（2x=0）的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(-21,0),B(32,0),C(0,0),D(51,0)，所以（1l2l,3l4l）=（AB，CD）=)2151)(320()3251)(210(=21五、求两对对应元素，其参数为121，02，所确定的对合方程。（10分）第3页共4页解设所求为a+b(+)+d=0①将对应参数代入得：21a+（1+21）b+d=0②（0+2）b+d=0③从①②③中消去a,b,d得120123211=0即++-2=0为所求六、求直线32163xxx=0关于2122212xxxx+231xx-632xx=0之极点。（12分）解：设0p（030201,,xxx）为所求，则031311111030201xxx=613解线性方程组61330201030201030201xxxxxxxx得即,1,1,3030201xxx（3，-1，-1）为所求极点的坐标七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。（12分）定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对应边的交点在同一直线上。证明：设简单六点形654321AAAAAA，其三对对边的交点分别为L，M，N，L=21AA54AA，M=32AA65AA，N=43AA16AA以1A,3A为中心，分别连接其他四点，则由定理得到65421AAAAA65423AAAAA设PAAAA5421，QAAAA4365则65421AAAAAPAAL54,,，65423AAAAA65,,AAQM所以，PAAL54,,65,,AAQM由于两个点列底的交点5A5A，故有第4页共4页PAAL54,,65,,AAQM所以LM，QA4，5PA三点共点，但QA45PA=N,即L，M，N三点共线。八、用两种方法求双曲线0423222yxxyyx的渐近线方程。（12分）解：方法一设渐近线的方程为0)323222112313212111(xaxaxakxaxaxa根据公式得01232kk解之，得31,121kk，所以渐近线方程为0)23(1yxyx和0)23(311yxyx化简，得所求为2x-2y-1=0和2x+6y+5=0方法二先求出中心，因为131A，332A，433A所以中心为43,41C代入公式得渐近线方程0343343412434122yxyyx分解因式得41x-43y=041x+433y=0化简，得所求为2x-2y-1=0和2x+6y+5=0