高等数学下册测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）1）设有直线3210:21030xyzLxyz及平面:4220xyz，则直线L（C）A、平行于平面B、在平面上C、垂直于平面D、与平面斜交2）二元函数22,0,0,0,0,0xyxyxyfxyxy在点0,0处（C）A、连续、偏导数存在B、连续、偏导数不存在C、不连续、偏导数存在D、不连续、偏导数不存在3）设fx为连续函数，1ttyFtdyfxdx，则2F（B）A、22fB、2fC、2fD、0分析：改变积分次序，可得11111txtFtdxfxdyxfxdxFttft22Ff4）设是平面123xyz由0,0,0xyz所确定的三角形区域，曲面积分326xyzdS（D）A、7B、212C、14D、215）微分方程1xyye的一个特解应具有形式（B）A、xaebB、xaxebC、xaebxD、xaxebx二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1）设平面经过原点及点6,3,2，且与平面428xyz垂直，则此平面方程为2230xyz。2）设arctan1xyzxy，则1,3dz1124dxdy。3）设L为221xy正向一周，则2xLedy2221200xxyxedxdy。4）设圆柱面223xy，与曲面zxy在点000,,xyz点相交，且他们的交角为6，则正数0z334。5）设一阶线性非奇次方程yPxyQx有两个线性无关的解12,yy，若12yy（,为常数）也是该方程的解，则应有1。三、（本题7分）设由方程组cossinuuxevyev确定,uv关于,xy的函数，求ux及vx和vy。解：利用全微分的不变性cossin1sincos2uuuudxevduevdvdyevduevdv1cos2sinvv可得cossincossinuuuvveduvdxvdydudxdyee1sin2cosvv可得sincossincosuuuvvedvvdxvdydvdxdyee所以cossincos,,uuuuvvvvvxexeye四、已知点1,1,1A及点3,2,1B，求函数3ln32uxyz在点A处沿AB方向的方向导数。解：2122,1,2,,333ABABAB2123367333Aul五、（本题8分）计算累次积分24112211xxxxyyxdxedydxedyyy。解：改变积分次序原式22222222221111yxxyyyyyydyedxedyeedyeeeey六、（本题8分）计算Izdxdydz，其中由柱面221xy及平面0,1zz围成的区域。解：用切片法较好。原式1210022zzdz七、（本题8分）计算32xyzdS，其中是抛物面222zxy被平面2z所截下的有限部分。解：在xoy面上的投影xyD为224xy222211xydSzzdxdyxydxdy原式322222112xyDxyxyxydxdy22222112xyDyxyxydxdy222222320011xyDxyxydxdydrrdr4522011005412115uuduttdt注：这里利用了对称性简化计算：32210xyDxxydxdy22222211xyxyDDxxydxdyyxydxdy八、（本题8分）计算222224coscosLxxxxxdxdyyyyy，L是点,22A到点,2B在上半平面0y上任意逐段光滑曲线。解：因为222224cos,cosxxxxPxQyyyy2322322cossinPxxxxQyyyyyx在上半平面成立，所以此曲线积分在上半平面内与路径无关。原式222,22,2224coscosxxxxxdxdyyyyy2222222424coscosxxxdxdyyy222222222232sinsin21122xxy九、（本题8分）计算222xydydzyzdzdxzxdxdy，其中为半球面221zxy的上侧。解：利用高斯公式计算，设1为xoy面上区域221xy，并取下侧。为1,围成的立体区域。原式12223dxdydzxydydzyzdzdxzxdxdy222221222300111112222224xyxyxdxdyxydxdydrdr十、（本题8分）设二阶连续可导函数yfx，sxt适合222240yyts，求yfx。解：21,ysyfxfxttst2222432221,yssyfxfxfxtttst所以222240yyts可化为2432240ssfxfxfxttt222240420ssfxfxfxxfxxfxtt解微分方程2420xyxy，令Py，则Py，原方程化为2420dPxxPdx2112212lnln444CxdPdxPxCyPPxx1122arctan422CCxydxCx十一、（本题4分）求方程4cos2yyx的通解。解：解特征方程240r，得特征根2ri，对应其次方程的通解为12cos2sin2yCxCx又因为20,4pq，此方程有特解*sin24xyx原方程通解为12cos2sin2sin24xyCxCxx十二、（本题4分）在球面2222xyza的第一卦限上求一点M，使以M为一个顶点，各面平行于坐标平面的球内接长方体的表面积最小。解：设M点坐标为,,xyz，以M为一个顶点，各面平行于坐标平面的球内接长方体的表面积8Sxyxzzy，因为2222xyza。考虑函数2222,,,Fxyzxyxzzyxyza解方程组22222020200xyzFyzxFxzyFxyzFxyza得33xyza，所求点为333,,333aaa。有关级数的题目：1）判别级数111ln1nnnn是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：因为11ln121nnn，而1121nn发散，此级数不绝对收敛。又因为11ln21ln1nnnn，且1lim0ln1nnn，此级数条件收敛。2）求幂级数2012!nnnnxn的收敛区间及和函数。解：212221121!221limlim011222!nnnnnnnnnnnn，此幂级数收敛区间为,201011112!1!2!2nnnnnnnnnxxxnnn2101112!21!2!2nnnnnnxxxnnn21221011142!221!2!2nnnnnnxxxxxnnn222011142!242nxnxxxxxen3）将函数0000axfxHxaHax展成以2为周期的弗里叶级数。解：fx在一个周期内是奇函数，所以0,0,1,2,nan00122cossinsinaanHnxbfxnxdxHnxdxn21cos,1,2,Hnann121cossin2,0,1,nHnafxnxxkakn书本207页有格林公式的实际应用，还有高斯公式当系数是1的时候就是求体积