高等数学下期末考试题+答案中国传媒大学2008

第1页共6页中国传媒大学2008—2009学年第一学期期末考试试卷（A卷）参考答案及评分标准考试科目：高等数学C考试班级：08数字媒体艺术考试方式：闭卷命题教师：一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题分4小题,每小题4分,共16分)1、设lim0nna，则级数1nna（）A.一定收敛，其和为零B.一定收敛，但和不一定为零C.一定发散D.可能收敛，也可能发散答：D2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)AB，与AB方向相同的单位向量是（）A.623(,,)777B.623(,,)777C.623(,,)777D.623(,,)777答：B3、设32()xxyftdt，则dydx（）。A.()fxB.32()()fxfxC.32()()fxfxD.2323()2()xfxxfx答：D第2页共6页4、若函数()fx在(,)ab内连续，则其原函数()Fx（）A.在(,)ab内可导B.在(,)ab内存在C.必为初等函数D.不一定存在答：B二、填空题（将正确答案填在横线上,本大题分4小题,每小题4分,共16分)1、级数11nnn必定____________（填收敛或者发散）。答：发散2、设平面20xByz通过点(0,1,0)P，则B___________。答：-23、定积分121sinxxdx___________。答：04、若当xa时，()fx和()gx是等价无穷小，则2()lim()xafxgx__________。答：0三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分)1、(本小题7分)求不定积分sinxxdx解：sinxxdxcoscoscossinxxxdxxxxC2、(本小题7分)若()(0)fxxxx，求2'()fxdx。第3页共6页解：因为1'()12fxx，所以21'()12fxx则21'()(1)21ln2fxdxdxxxxC3、(本小题7分)已知函数1arctan1xyx，求dydx。解：2211()'111()111dyxxdxxxx4、(本小题7分)将函数1()32fxx展开为(1)x的幂级数。解：101()3211351(1)53(1)(1)531(1)15nnnnnfxxxxx即2833x。四、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分)1、(本小题7分)第4页共6页计算831dxxx。解：令3tx，则3xt，23dxtdt822311221313ln(1)23(ln5ln2)2dxtdttxxt2、(本小题7分)求幂级数11(1)(3)nnnxn的收敛区间。解：根据公式11(1)(3)1lim3(1)(3)nnnnnxnxxn当1133x收敛；当13x时，幂级数发散；当13x时，幂级数收敛；所以，幂级数收敛区间是1133x3、(本小题7分)设0[()''()]sin5,()2fxfxxdxf，求(0)f。解：利用分部积分公式第5页共6页000000()sin()cos()coscos'()()(0)'()sin''()sinfxxdxfxdxfxxxfxdxfffxxfxxdx即0[()''()]sin()(0)fxfxxdxff由题意，(0)3f。4、(本小题7分)求由抛物线21,0,2yxxx及0y所围成的平面图形的面积。解：122201313201(1)(1)11()()332Sxdxxdxxxxx五、解答题(本大题12分)设()fx具有连续二阶导数，且(0)0f，(),0(),0fxxgxxax（1）a为何值时，()gx连续。（2）对（1）中所确定的a值，求'()gx。（3）讨论'()gx在0x处的连续性。解：（1）因为00'()lim()lim'(0)1xxfxgxf，所以'(0)af时，()gx连续。（2）当0x时，2'()()'()xfxfxgxx第6页共6页000()'(0)'()'(0)'(0)limlim2''()''(0)lim22xxxfxffxfxgxxfxf（3）因为2000'()()lim'()lim''()''(0)lim'(0)22xxxxfxfxgxxfxfg所以，在0x处'()gx是连续的。