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194习题九1.求下曲线在给定点的切线和法平面方程:(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点π4t;(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,点M0(x0,y0,z0).解:2sincos,cos2,2cossinxattybtzctt曲线在点π4t的切向量为πππ,,,0,444Txyzac当π4t时,,,222abcxyz切线方程为2220abcxyzac.法平面方程为0()0.222abcacxyz即22022acaxcz.(2)联立方程组22260xyzxyz它确定了函数y=y(x),z=z(x),方程组两边对x求导,得dd2220dddd10ddyzxyzxxyzxx解得dd,,ddyzxzxyxyzxyz195在点M0(1,-2,1)处,00dd0,1ddMMyzxx所以切向量为{1,0,-1}.故切线方程为121101xyz法平面方程为1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)将方程y2=2mx,z2=m-x两边分别对x求导,得dd22,21ddyzymzxx于是dd1,dd2ymzxyxz曲线在点(x0,y0,z0)处的切向量为0011,,2myz,故切线方程为00000,112xxyyzzmyz法平面方程为000001()()()02mxxyyzzyz.2.t(0t2π)为何值时,曲线L:x=t-sint,y=1-cost,z=4sin2t在相应点的切线垂直于平面20xyz,并求相应的切线和法平面方程。解:1cos,sin,2cos2txtytz,在t处切向量为1cos,sin,2cos2tTtt,已知平面的法向量为1,1,2n.且T∥n,故2cos1cossin2112ttt解得π2t,相应点的坐标为π1,1,222.且1,1,2T196故切线方程为π11222.112xyz法平面方程为π112(22)02xyz即π2042xyz.3.证明:螺旋线x=acost,y=asint,z=bt的切线与z轴形成定角。证明:sin,cos,.xatyatzb螺旋线的切向量为{sin,cos,}Tatatb.与z轴同向的单位向量为{0,0,1}k两向量的夹角余弦为22222cos.(sin)(cos)bbatatbab为一定值。故螺旋线的切线与z轴形成定角。4.指出曲面z=xy上何处的法线垂直于平面x-2y+z=6,并求出该点的法线方程与切平面方程。解:zx=y,zy=x.曲面法向量为1,,1nyx.已知平面法向量为21,2,1n.且1n∥2n,故有112yx解得x=2,y=-1,此时,z=-2.即(2,-1,-2)处曲面的法线垂直于平面,且在该点处的法线方程为212121xyz.切平面方程为-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0即x-2y+z-2=0.5.求下列曲面在给定点的切平面和法线方程:197(1)z=x2+y2,点M0(1,2,5);(2)z=arctanyx,点M0(1,1,π4);解:(1)00002,4.22yxmmmmzzyx故曲面在点M0(1,2,5)的切平面方程为z-5=2(x-1)+4(y-2).即2x+4y-z=5.法线方程为125241xyz(2)0000222211,.22yxmmmmyxzzxyxy故曲面在点M0(1,1,π4)的切平面方程为z-π4=-12(x-1)+12(y-1).法线方程为π11411122zxy.6.证明:曲面xyz=a3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。证明:设F(x,y,z)=xyz-a3.因为Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0.切平面在x轴,y轴,z轴上的截距分别为3x0,3y0,3z0.因各坐标轴相互垂直,所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为330000001119132727.3336622Vzxyzaaxy它为一定值。7.解:平面与曲面22zxy在(1,2,5)的切平面的法向量为002,2,12,4,1nxy从而平面的方程为:2450xyz198又l的方向向量为110(1)11ijksijaka由0ns求得5a在l上取一点,不妨取01x求得00(1).53ybzb由于000(,,)xyz在平面上,代入平面方程中可求得2b.8.求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向角为πππ,,343的方向导数。解:(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)coscoscosuuuuylxz22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcoscoscos5.(2)()(3)343xyxzyyzzxy9.求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点A(5,1,2)到B(9,4,14)的方向导数。解:{4,3,12},13.ABABAB的方向余弦为4312cos,cos,cos131313(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105uyzxuxzyuxyz故4312982105.13131313ul10.求函数22221xyzab在点,22ab处沿曲线22221xyab在这点的内法线方向的方向导数。解:设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ,它是第三象限的角,因为2222220,xybxyyabay所以在点,22ab处切线斜率为1992,2222.2ababbybaa法线斜率为cosab.于是2222tan,sinbaabab∵2222,,zzxyxayb∴22,222222222212().22abbazabablabababab11.研究下列函数的极值:(1)z=x3+y3-3(x2+y2);(2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x-x2)(4y-y2);(4)z=(x2+y2)22()exy;(5)z=xy(a-x-y),a≠0.解:(1)解方程组22360360xyzxxzyy得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x-6,zxy=0,zyy=6y-6在点(0,0)处,A=-6,B=0,C=-6,B2-AC=-360,且A0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点(0,2)处,A=-6,B=0,C=6,B2-AC=360,所以(0,2)点不是极值点.在点(2,0)处,A=6,B=0,C=-6,B2-AC=360,所以(2,0)点不是极值点.在点(2,2)处,A=6,B=0,C=6,B2-AC=-360,且A0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.(2)解方程组222e(2241)02e(1)0xxxyzxyyzy得驻点为1,12.22224e(21)4e(1)2exxxxxyxyyzxyyzyz在点1,12处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e20,又A0,所以函数有极小值e1,122z.200(3)解方程组22(62)(4)0(6)(42)0xyzxyyzxxy得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx=-2(4y-y2),Zxy=4(3-x)(2-y)Zyy=-2(6x-x2)在点(3,2)处,A=-8,B=0,C=-18,B2-AC=-8×180,且A0,所以函数有极大值z(3,2)=36.在点(0,0)处,A=0,B=24,C=0,B2-AC0,所以(0,0)点不是极值点.在点(0,4)处,A=0,B=-24,C=0,B2-AC0,所以(0,4)不是极值点.在点(6,0)处,A=0,B=-24,C=0,B2-AC0,所以(6,0)不是极值点.在点(6,4)处,A=0,B=24,C=0,B2-AC0,所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组2222()22()222e(1)02e(1)0xyxyxxyyxy得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1,在点P0处有z=0,而当(x,y)≠(0,0)时,恒有z0,故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函数z=ue-u由de(1)duzuu,令d0dzu得u=1,当u1时,d0dzu;当u1时,d0dzu,由此可知,在满足x02+y02=1的点(x0,y0)的邻域内,不论是x2+y21或x2+y21,均有2222()1()eexyzxy.故函数z在点(x0,y0)取得极大值z=e-1(5)解方程组(2)0(2)0xyzyaxyzxayx得驻点为12(0,0),,33aaPPzxx=-2y,zxy=a-2x-2y,zyy=-2x.故z的黑塞矩阵为222222yaxyHaxyx于是122033(),().0233aaaHPHPaaa易知H(P1)不定,故P1不是z的极值点,201H(P2)当a0时正定,故此时P2是z的极小值点,且3,2733aaaz,H(P2)当a0时负定,故此时P2是z的极大值点,且3,2733aaaz.12.设2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0,确定函数z=z(x,y),研究其极值。解:由已知方程分别对x,y求导,解得484,281281zxzzyxzxyzx令0,0,zzxy解得0,2xyz,将它们代入原方程,解得162,7xx.从而得驻点16(2,0),,07.22222222(281)(48)4828(281)428,(281)4(281)8.(281)zzzxxzzxxxzxzyzxxyzxzzxzyyzx在点(-2,0)处,441,,0,,1515ZABCB2-AC0,因此函数有极小值z=1.在点16,07处,82828,,0,,7105105ZABCB2-AC0,函数有极大值87z.13.在平面xOy上求一点,使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方之和为最小。解:设所求点为P(x,y),P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|,到直线x+2y-16=0的距离为22216216.512xyxy距离的平方和为2221(216)5zxyxy202由22(216)0542(216)05zxxyxzyxyy
本文标题:高等数学复旦大学习题答案九
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