高等数学教学中数学模型案例运用初探

・211ΞKeywords:AdvancedMathematics;mathematicalmodel;cases;teachingreform;attitudetomath2Ξ收稿日期:2002209201作者简介:闵啸(1974-)浙江嘉兴人嘉兴学院信息工程学院数学教研室讲师、硕士。。,第14卷S12002年11月嘉兴学院学报Vol.14No.S12002.11JournalofJiaxingCollege・高等数学教学中数学模型案例运用初探闵啸(嘉兴学院信息工程学院,浙江嘉兴314001)摘要:作者对在大学高等数学课堂教学中尝试运用数学模型案例教学的经验作了总结,并进一步作了有益的探讨。提出运用模型化思想的一些基本原则,得出合理采用数学模型教学插件对培养正确的数学观和改变学生对数学传统的消极意识具有很好的作用这一结论。关键词:高等数学;数学模型;案例;教学改革;数学观。中图分类号:O13-05Abstract:ThewritersummarizestheexperienceofusingthemathematicalmodelsinAdvancedMathematicsteaching.Theauthorputsforwardsomeprinciplesformathematicalmodelingandconcludesthatitisusefultosetupstudents‘correctattitudestomathematics.ematics.CLC:O13-05文献标识码:A.文章编号:1671-3079(2002)S1-0211-030引言及其对世界的意义被社会所了解,特别是被普通公众所数学,这门古老而又常新的科学,正洋溢着勃勃生了解。但是,公众对数学的认识状况却令人担忧,这已经机,驰骋在新世纪的征程上。现代社会是高科技信息化成为一个国际性的问题。面对数学抽象的符号、严密的的载体,科学技术是整个人类文明、社会文明阔步向前逻辑、高深的理论,一般人只好望而却步。他们不理解数的根本动力。数学科学的巨大发展,尤其是与计算机科学,害怕数学;有的可能知道数学有用,但无法领会其用学的广为结合,比以往任何时候都更加牢固地确立了它在何处;有的干脆将数学认作是只有少数人能玩的费神在整个科学技术中的基础性地位。数学正在突破传统的的游戏,其他毫无用处。有的科学家曾指出:“太少的人基础理论框架和应用范围,向几乎所有的人类知识领域认识到当今如此受到颂扬的‘高技术’本质上是一种‘数渗透,并越来越直接为人类物质生产和日常生活作出贡学技术’”美国科学界著名的David报告中肯地指出:献。从科学技术的角度来看,许多与数学相结合的新型“一方面数学及数学的应用在我国的科学、技术、商业和交叉学科在不断地诞生,如:数学化学,数学地质学,数日常生活中所起的作用越来越大;另一方面,一般公众学生物学,甚至在传统上被认为和数学全无关系的心理甚至是科学界对数学的研究可谓是一无所知,很不理学、社会学也将数学请进了门,出现了数学心理学、数学解。”其实,造成这种局面的原因在很大程度上跟我们所社会学等。同时,数学也是一种文化,已成为人类文明进实施的数学教育方式有关。步的标志。因此,对于当今社会每一个有文化的人而言,1高等数学教学中存在的弊端不论在任何学历层次,不论从事何种职业,几乎都要接在大学高等数学的教学中,现今的教学方法主要还触数学的教育和熏陶,社会对数学的迫切需要,在未来是侧重于概念、定义的介绍,定理的证明,计算推导,这的发展中无疑是与日俱增的。国际数学联盟(IUM)还专在知识的传授上是无可厚非的,但最终造成这样一种局门将2000年定为“世界数学年”其主要宗旨是“使数学面:学生知道数学很重要,从小学到中学到大学都要学©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.・2嘉兴学院学报第14卷S1习;也知道数学可以训练思维,培养严谨的态度和严密自己所面对的就是一连串符号、运算和推理的游戏。听懂上课的东西,做完老师布置的作业,应付一下考试,通便放稳了!过了就高兴地拜拜。普遍对数学的实用性缺乏认识,不这个相当实际,看似和数能领悟所学知识的价值,以至于学习缺乏目标和动力。学毫无关系的实例,就这样通数学则成了“空对空”导弹。“数学无用”的观念和意识日过数学建模的手段转化为一积月累,根深蒂固了。另外教材的陈旧、教学方法的落个简单的数学问题,从而被当后、教师自身的知识修养的偏狭,很大程度上也直接影堂所讲的知识轻而易举地解响着对数学重要性和实用性的认识。决了。学生的目光中洋溢着惊图1椅子放置示意图2数学模型案例教学的尝试讶和兴奋的神情,相信他们必将对这条性质产生奇妙的当前高校高等数学教学的现状,教学理念和教学方理解和记忆效果。式的改革尤为迫切。但鉴于数学体系本身的经典性和系案例2:在讲完不定积分后,笔者又列举了这样一个统性,对高等数学教学的改革很难大刀阔斧地进行,因综合性较强的实例:美国的核废料沉海处理是否安全?此可以从小处做起,从局部方面切入,作一些有益的问题是这样的:美国原来将核废料封装在铅桶里沉入大尝试。海,但若海水较深,海底岩石较硬,会使铅桶到达海底时笔者认为,要激发学生对高等数学的学习兴趣,培速度过大而撞破,如何论证其安全性?由于其背景的新养学以致用的意识和能力,关键还是激发他们对数学重颖性,学生便兴致高涨,表现出很强的热情。问题可直接要性和应用性的再认识。除了应将基本概念、定义、定转化成一个阻尼落体运动方程,求出它到达海底的最终理、方法讲清、讲透之外,在教学过程中适当地引入与课速度,但当时尚未讲微分方程,故特意把它提出作为学生已学微积分知识的一个综合检验。法。数学模型本身就是用数学方法解决实际问题的手段(1)首先让学生自主思考明确这是一个落体运动,和桥梁,直接面向现实,走近生活,很容易使学生领悟到但已不是中学中熟知的自由落体,而是阻尼落体运动。数学工具在解决实际问题中的强大威力,使学生有直接如何揭示其运动规律,这对学生来说是一个全新的问的、切身的认同感。题,容易激发他们的探知欲。案例1:在讲授闭区间上连续函数的零点存在定理(2)利用导数的物理意义和牛顿第二运动定律建立时,除了列举一些常规的零点定理应用例子之后,特给运动方程:m=mg-kvdtv(0)=0诉他们这是一种新的方程:常微分方程。但谁也无法将它马上和今天所学的数学知识联系起来,(3)利用所学过的微积分知识求解方程:将方程变于是兴趣一下子被调动起来。然后,教师开始用实际的dvkg-m一定的角度,椅子便神奇般的放稳了。而这一点如何用dv不变性,两边作不定积分,得=dt+C1,解出g-kk(4)问题到这里远没有结束,可引导学生认识两个mgk落体运动最后的速度是趋于恒定的。(b)令k→0,利用极限过程得到v(t)=gt,恰为大家熟悉的自由落体运动,使学生认识到高等数学工具在解决变量运动中的特殊作用。(5)因为很难确定物体落到海底的时间t,故通过t可知,必有f(Π)=0,g(Π)0,于是有:h(Π)=f(Π)-的推理。但就是不知道所学的东西到底能派什么用场。Π0,最后由零点存在定理得必存在(使(Ηf0位置,椅子堂知识相关的简单“数学模型案例”,是行之有效的办出如下问题:一把四脚等长的矩形椅子在不平的地面上dv其中k为空气阻尼系数,并告如何才能放平?这是一个在日常生活中司空见惯的实例,学生首先感到很熟悉,带有亲切感。问题看似简单,=dt,这里Α=形为,再根据一阶微分形式的椅子做起试验来,结果只需将椅子绕它的平面中心旋转Αv∫∫Αv数学知识来解释呢?方法很简单。mg(1-e-mt∈(0,+∞),便得到了速度函数。(1)在一些合理的假设之后,将椅子平面放在如图v(t)=1所示的坐标系中,则椅子的旋转位置完全由Η角所决定。现实:(a)当t→+∞时,v(t)→(常数),说明阻尼(2)设脚A,D与地面的距离之和为f(Η),脚B,C与地面的距离之和为g(Η),则f(Η)和g(Η)均为连续函数,又因为在任何一个位置,至少有三条腿着地,f(Η)=0故和g(Η)=0至少有一个成立。(3)令h(Η)=f(Η)-g(Η),则h(Η)为[0,Π]上的连续函数。不妨设f(0)0,g(0)=0,则有:h(0)=f(0)-g(0)0。将椅子绕中心按逆时针旋转Π度,由对称性定出最终速度v3有一定困难,故在实际中可通过一个12・©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.简单巧妙的复合函数求导变换解决问题:由mkv得m=mg-kv,因为=v,故有mvlng,而海洋得深度h3已ln(g+v)=-知,则可由之解出v3。。难以实现的,应在学生的课余时间大力倡导建模理念,1于是有xn+1=d2使课堂气氛顿时活跃起来,学生普遍感到:数学简直无孔不入,又把道理说得清清楚楚,真是妙不可言。3运用模型化思想的一些基本原则闵啸:高等数学教学中数学模型案例运用初探・213・-dvdhdhdhdtdtdvdt=mgdv=dh3.1设想的模型最好贴近我们的日常生活,比较实际,并寓于一定的趣味性和应用性。学生对模型背景比较熟悉,避免问题过分专业,这样容易激发学生的兴mg-kv成立。于是将v(t)转化为v(h),解得:v+趣。或者能和其所在专业的背景相联系,这样效果会更mgkkmgh+kmmk(6)以上代数方程很难给出解析解,这一点又与学生过去的习题经验相违背,使他们初步体会到,在解决实际问题的过程中,任何一个环节都不会像普通习题那样理想化,需要运用更特殊的办法。这里便可以向学生简要介绍一下二分法求函数方程数值解的基本原理,顺便又复习了零点存在定理。在这个颇具综合性的例子中,既有能引发学生兴趣和注意力的背景,又使其感受到从初等数学到高等数学在工具上的进步以及解决问题能力上的巨大飞跃。在求解过程中既综合运用积分、极限、复合函数求导、闭区间上连续函数性质甚至是数值计算的简单原理,又结合学生所熟悉的物理学意义,在成功运用后,确实起到了事半功倍的效果。案例3在讲授无穷级数的敛散性判别中,笔者又给出了一下这样一个有趣的游戏(如图2所示)。将相同的木板迭起,问有无可能使木堆最上一块木板右端水平伸向图2木板堆放模型图无穷远处而木堆不倒。从直观上似乎不可能做到,但我们只利用简单的物理学知识就可以建立起如下模型:建立如图坐标系,设由上到下第n块木版的重心横坐标为,若恰好保持木堆不倒,则有递推关系式:x1=0好。如:理工科学生,可选择有关物理工程方面的模型。3.2由于是在教学过程中作为插件,故模型必须简单,能在较短的时间内讲完。一般不宜超过20～30分钟。3.3建模和求解的方法应尽可能与本课程的知识相联系。这样就起到加深学生对本课程知识应用价值的理解,激发他们进一步学好课程,消除以往的消极被动情绪。3.4模型的讲解可安排在习题课当中,合理安排习题课进程,腾出足够的时间推出一个精巧的模型,可达到抛砖引玉的效果。3.5模型的讲解应精心处理。因为它除了起到展示知识应用价值之外,很大程度上还附带了一定的人文艺术价值。若讲解通俗,安排得体,语言幽默风趣,寓于生活性和文化性,则会使学生耳目一新,寓于轻松感和亲切感,可缓解以往数学课堂上相对沉闷的气氛,调动情绪,增添色彩。4数学模型教学插件的积极作用由于“数学科学对经济竞争的至关重要,数学是一种关键的、普遍运用并授予人以能力和技术”,而“一旦数学用于技术,它就能产生系统的、可再现的、可传授的知识,分析设计,建模,模拟和应用便会成为可能的、高效的、富于结构的活动”这充分说明在现代社会中数学教育对人的重要性。树立正确的数学观是数学教育改革的关键所在。除了在数学教学过程中融入模型化的思想,给学生以一种直观的感受之外,更重要的是让学生能自主思考,自行运用建模的方法解决实际问题