高等数学教案Word版(同济)第二章1

第一讲I授课题目:§2.1导数概念II教学目的与要求:1.理解导数的概念，理解导数的几何意义；2.会用导数描述一些物理量；3.会用导数的定义求函数的导数并会判断函数的可导性。III教学重点与难点:重点：导数的概念难点：用导数的定义判断函数的可导性IV讲授内容:微分学是微积分的重要组成部分，它的基概念是导数与微分。主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。先讨论导数的概念，而导数的概念的形成与直线运动的速度，切线问题有密切的关系。一、直线运动的速度，切线问题1．直线运动的速度先建立坐标系：设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻t在直线上的位置的坐标为s（简称位置），运动完全由位置函数所确定。位置函数：)(tfs（1）从时刻0t到t一个时间间隔，有平均速度为：0000)()(tttftfttss（2）时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻0t的速度，但动点在时刻0t的速度的精确概念还得让0tt，即：00)()(lim0tttftfvtt（3）极限值叫做动点在时刻0t的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法。2．切线问题建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点处的切线的斜率为：y()yfxNTCMx00)()(lim0xxxfxfkxx（4）割线斜率的极限就是切线的斜率二、导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数讨论知，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归为一数学形式：00)()(lim0xxxfxfxx（5）此处的0xx和)()(0xfxf的分别是函数)(xfy的自变量的增量x和函数的增量y式（5）写成：0000()()limlimxxfxxfxyxx（6）由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念。2.导数的定义定义1设函数)(xfy在点0x的某个邻域内有定义，当自变量x在0x处取得增量x（点xx0仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量y；如果y与x之比当0x时的极限存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，并称这个极限为函数)(xfy在点0x处的导数，记为)(0xf，即000)(,,)()(limlim)(00000xxxxxxxxdxxdfdxdyyxxfxxfxyxf记（7）函数)(xfy在点0x处可导有时也说成)(xfy在点0x具有导数或导数存在。导数的定义也可取不同的形式，常见的有：hxfhxfxfh)()(lim)(0000（8）000)()(lim)(0xxxfxfxfxx（9）在实际中，需要讨论有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述。3.函数在一点处不可导的定义定义2如果式（7）的极限不存在，就说函数在点处不可导，如果，当0x时，比值xy时，就说函数)(xfy在点0x处的导数为无穷大（此时函数不可导）。4.导函数的定义定义3如果函数)(xfy在开区间I内的每点处都可导，就称函数)(xfy在开区间I内可导。对任意Ix都对应着)(xfy的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做函数)(xfy的导函数，记作：dxxdfdxdyxfy)(,),(,（10）式（7）、式（8）得hxfhxfxfh)()(lim)(0（11）导函数)(xf简称导数，而)(0xf是)(xf在0x处的导数或导数)(xf在点0xx处的值。5.求函数的导数举例例1求函数)()(Nnxxfn在ax处的导数解1121)(limlim)()(lim)(nnnnaxnnaxaxnaaaxxaxaxaxafxfaf将a换成x得1)(nnxxf即1)(nnnxx幂函数)(为常数uxyu的导数公式1)(uuuxx例2求函数xxfsin)(的导数解xhhhxhhxhhxhxhxfhxfxfhhhhcos22sin)2cos(lim2sin)2cos(21limsin)sin(lim)()(lim)(0000正弦函数的导数是余弦函数。例3求函数xxf)(在0x处的导数解00()(0)||(0)limlim0xxfxfxfxx0000||||limlim1,limlim1xxxxxxxxxxxx所以0||limxxx不存在即函数xxf)(在0x处不可导6.单侧导数根据函数)(xf在点0x处的导数)(0xf的定义，导数是一个极限，hxfhxfxfh)()(lim)(0000而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。函数在点处的左、右极限得左、右导数的定义左导数的定义hxfhxfxfh)()(lim)(0000'右导数的定义hxfhxfxfh)()(lim)(0000函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。函数)(xf在开区间),(ba的内可导，及)(af的)(bf都存在，就说)(xf在闭区间],[ba上可导。三、导数的几何意义切线问题的讨论知，函数)(xfy在点0x处的导数)(0xf在几何上表示曲线)(xfy在点))(,(00xfxM处的切线的斜率，即：hxfhxfkxfh)()(lim)(0000注：1.如果0()fx，则曲线)(xfy在点))(,(00xfxM处有垂直于x轴的切线0xx；2.如果0()0fx，则曲线)(xfy在点))(,(00xfxM处有平行于x轴的切线0()yfx。曲线在点处的切线方程为))((000xxxfyy曲线在点处的法线方程为)()(1000xxxfyy例4求等边双曲线xy1在点)2,21(处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。解根据导数的几何意义，得切线的斜率为41212211xxxyk切线方程为.044),21(42yxxy法线的斜率为41112kk法线方程为.01582),21(412yxxyV小结与提问：小结：1.给出了函数在一点处的导数的定义以及函数的导函数的定义；2.函数在一点处的左右导数的定义；3.给出函数的导数的几何意义.提问：怎么样用导数的定义求函数在一点的导数？VI课外作业：P85-P861，5，7（3）（6），11