高等数学练习题

1高等数学练习题一、选择题1、模m的完全剩余系有（）A、唯一一个B、无穷多个C、有有限个D、不一定有2、设p是素数，a是整数，且（p,a）=1，则（）A、)(modpaapB、)(mod0papC、)(mod01papD、以上均错3、多项式f(x)除以x-a所得的余数为（）A、f(0)B、f(x-a)C、f(a)D、以上均错4、在xy平面上，顶点的坐标（x,y）满足1≤x≤4,1≤y≤4，且x,y是整数的三角形个数有（）A、560B、32C、516D、445、零多项式的次数是（）A、0次B、1次C、2次D、不定义次数6、102cosxdx等于（）A、-21B、0C、41D、217、设z=In(x2+y),mj21等于xz等于（）A、yX21B、yXx22C、yXx212D、yXx2218、由点A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2)确定向量AB，则AB等于（）A、222222zyx-212121zyxB、212212212)()()(zzyyxxC、（x2-x1）+(y2-y1)+(z2-z1)D、(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)29、下列方程为一阶线性微分方程的是（）A、('y)2+2y=xB、'y+2y2=xC、'y+y=xD、''y+'y=x10、等比级数0)21(xx的和为（）A、4B、3C、2D、1二、填空题1、m是大于1的正整数，a、b∈z，若m|a-b，则a、b关于模m。2、模m的非负最小完全剩余系为。23、20032005被17除的余数为。4、若f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0x的根是x1,…,xn，则x1x2…xn=。5、用艾森斯坦坦判别法判断f(x)=x5-3x4+6x3-3x2+9x-6在有理数域上不可约所找到的素数为。6、10xex2dx=.7、过原点且与平面2x-y+3z+5=0平行的平面方程为。8、设z=x2y+siny,则yxz2=。9、级数201xxnn的收敛半径为。10、微分方程'y-y=1的通解为。11、lim（1-x1）1=。12、设)(x=0,0,22xxxax且)(x在点x=0处连续，则a=.13、设y=32,则y2=.三、计算题1、求不定方程25x+13y+7z=4的整数解。2、求方程4x2-40[x]+51=0的实数解。n-3(n≥1000)3、定义域为正整数的函数f(n)满足f(n)=f(f(n+7)),(n≤1000)4、设F(x)是对除x=0及x=1以外的一切实数有定义的实值函数，并且xxFxF1)11()(①，求F(x).四、解答题（每小题10分，共20分）1、设y=x-x1,求dy.2、设y=xe1,求''y五、证明1、设a,b,c三个整数，证明下面三个数3ab(a+b)(a-b),bc(b+c)(b-c),ca(c+a)(c-a)中至少有一个是24的倍数2、设f(x),g(x),h(x)为实系数多项式，且适合f2(x)=xg2(x)+xh2(x)求证：f(x)=g(x)=h(x)=0练习题答案一、选择题1、B2、A3、C4、C5、D6、D7、B8、B9、C10、C二、填空题1、同余2、0，1，2，…，m-13、144、nnaa0)1(5、36、21（e-1）7、2x-y+3z=08、2x9、110、y=Cex-111、e-112、013、3In3三、计算题1、解：设Zu，考虑方程组25x+13y=u①的整数解，(2分)U+7z=4②把①看作关于x,y的二元一次不定方程得①与②的特解为ux030uuy20（1分）10z（1分）则①与②通解为x=-u+131tu=-3+72tY=2u-251t,Zt1（1分）z=1-2t,2tZ（1分）将u=-3+72t代入①的通解,得原方程通解x=3-72t+131tY=-6+142t-251t1t,2tZ（4分）Z=1-2t2、解：由已知有40xx40514x2于是05140x4x25.8x5.1(1分)当1.5x2时，x=1，原方程变为24x=-11（不合适）(1分)当2x3时，x=2，原方程变为24x=29,x=229（合适）(1分)4当3x4时，x=3，原方程变为24x=69,x=269（不合适）(1分)当4x5时，x=4，原方程变为24x=109,x=2109（不合适）(1分)当5x6时，x=5，原方程变为24x=149,x=2149（不合适）(1分)当6x7时，x=6，原方程变为24x=189,x=2189（合适）(1分)当7x8时，x=7，原方程变为24x=229,x=2229（合适）(1分)当8x8.5时，x=8，原方程变为24x=269,x=2269（合适）(1分)故原方程有四个解1x=229,2x=2189,3x=2229,4x=2269(1分)3、解：90+7×130=1000于是f(90)=f(f(97))=…=个131)))1000((((fff(2分)又f(1000)=997f(997)=f(f(1004))=f(1001)=998f(998)=f(f(1005))=f(1002)=999f(999)=f(f(1006))=f(1003)=1000（3分）所以f(f…f(n)…)是以4为周期的函数（3分）而131=4×32+3所以f(90)=f(f…f(1000)…)=f(f(f(1000)))=999(2分)4、解：在①中，以xx1代x，得xxxFxxF12)11()1(②（3分）在①中，以x11代x，得xxxFxF12)()11(③（3分）用①，②，③消去)11(),1(xFxxF，得)1,0(,)1(21)(23xxxxxxF（4分）四、解答题1、解：'y='x-（x1）=1+21x5dy=(1+21x)dx2、解：'y=xe1+e1=(x+1)e1,''y=(x+2)e1五、证明1、证明：因为a,b,c均为整数，则必有两个数奇偶性相同，不妨设a,b相同，下证24︱ab(a+b)(a-b)因为24=8×3且(3,8)=1，因此只证3︱ab(a+b)(a-b)且8︱ab(a+b)(a-b)(1分)（1）若a,b中至少有一个是3的倍数时，则3︱ab(a+b)(a-b)（1分）若a,b均不是3的倍数，则是用3除余数为1，2（1分）若)3(modba，则3︱a-b，从而3︱ab(a+b)(a-b)（1分）若ab(mod3)，则3︱a+b，从而3︱ab(a+b)(a-b)（1分）因此对任意整数a,b，均有3︱ab(a+b)(a-b)（2）当a,b均为偶数时，显然有8︱ab(a+b)(a-b)（1分）当a,b均为奇数时，显然a+b，a-b均是偶数且a,b用4除余数为1或3（1分）当)4(modba，则4︱a-b（1分）当)4(modba，则4︱a+b（1分）所以8︱ab(a+b)(a-b)综上，当a,b奇偶性相同时，24︱ab(a+b)(a-b)（1分）故原命题成立2、证明：假设g(x)与h(x)中至少有一个非零多项式(2分)由于所给多项式都是实系数多项式，从而0)()(22xxhxxg且是奇次的（3分）而)(2xf或为偶数次多项式或为零多项式（3分）这表明原式两端次数不等，矛盾故g(x)=h(x)=0，从而f(x)=0(2分)