高等数学考试试卷集锦

高等数学（上）期中考试试卷1（答卷时间为120分钟）一.选择题（每小题4分）1.以下条件中（xx00（C）f′(x0)存在2.以下条件中（）不是函数f(x)在x0处连续的充分条件.（A）limf(x)limf(x0)xx00（B）limf(x)f(x0)xx0（D）f(x)在x0可微）是函数f(x)在x0处有导数的必要且充分条件.（A）f(x)在x0处连续（C）lim∆x0f(0x∆x)f(0x∆x)存在∆x3.x1是函数f(x)（A）可去x1sinx的（（B）f(x)在x0处可微分（D）limf′(x)存在xx0）间断点.（C）无穷（D）振荡（B）跳跃4.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续并在开区间(a,b)内可导，如果在(a,b)内f′(x)0，那么必有（）.（A）在[a,b]上f(x)0（C）在[a,b]上f(x)单调减少5.设函数（B）在[a,b]上f(x)单调增加（D）在[a,b]上f(x)是凸的f(x)(x23x2)sinx，则方程f′(x)0在(0,)内根的个数为（（A）0个（B）至多1个（C）2个）.（D）至少3个二.求下列极限（每题5分）lnb(1ax)1.limx0（a0）.sinaxa2.limxaxbsinxcxdcosx1（c0）.3.lim⎜⎜x1⎟x（a0）.⎝⎠三.求下列函数的导数（每题6分）x⎟1.yln⎜tan⎛⎝x⎞⎟cosxln(tanx),求y′.2⎠⎛⎞4.lim⎜x0⎝⎛sinx⎞x⎟⎠x2.2.设F(x)是可导的单调函数，满足F′(x)0，F(0)0.方程F(xy)F(x)F(y)确定了隐函数yy(x)，求dydxx0=⎧.⎪xln1t⎩⎪arctant23.设yy(x)是参数方程⎨⎧ln(xe)4.设函数f(x)⎨d2ydx2确定的函数，求.（a0），问a取何值时f′(0)存在？.⎩axx0x0四.（8分）证明：当x0时有exxe，且仅当xe时成立等式.五.（8分）假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带1球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？46x六.（10分）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内有二阶导数.如果f(a)f(b)且存在c(a,b)使得f(c)f(a)，证明在(a,b)内至少有一点，使得f′′()0.七.（10分）已知函数yf(x)为一指数函数与一幂函数之积，满足：（1）limf(x)0，limf(x)；xx（2）yf(x)在(,)内的图形只有一条水平切线与一个拐点.试写出f(x)的表达式.高等数学（上）期中考试试卷2（答卷时间为120分钟）一.填空题（每小题4分）⎧11.已知函数f(x)⎪1(sinx)⎨⎪a⎩xx0x0在x0连续，则a.2.x0是函数f(x)11ex1的间断点.（可去.跳跃.无穷.振荡）3.若f′(x)1，则lim00f(x03)f(x0)2.24.函数f(x)(x3x2)sinx在(0,)内的驻点的个数为（（A）0个（B）至多1个（C）2个5.设a0，若limx）.（D）至少3个2axbxcdxe，则a与d的关系是.二.计算题（每题6分）⎡1⎤⎥x⎦1.求limx⎣⎢1ln(1x).2.求limcosxx03.yln⎜tan⎛⎝1x2x⎞⎟cosxln(tanx),求y′.2⎠24.设yy(x)是参数方程⎨⎩⎧xetcost⎪⎪yetsintd2ydx2确定的函数，求1sin4xdxxx21sinxcosx5.求6.求dx.三.（8分）证明：当0x时有sinxtanx2x.2四.（8分）设函数f(x)有二阶导数，且f(0)0，又满足方程f′(x)f(x)x，证明f(0)是极值，并说出它是极大值还是极小值？五.（8分）设a和b是任意两个满足ab1的正数，试求ab的最小值（其中常数mn0）使得f()；又若f′(x)1（x(0,1)），证明这样的是唯一的.mn`六.（10分）设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且0f(x)1，证明(0,1)，七.（10分）（1）设(an)n1=（2）对上述数列(an)n1=是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限liman？n，令xnaaalimxnlima.nn12nnnnn1n，试用夹逼准则证明3高等数学（上）期末考试试卷1（答卷时间为120分钟）一.填空题（每题4分）1.函数f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可积的在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的2.函数y11tanx的间断点为x=条件.，它是条件，函数f(x)间断点.3.当x0时，把以下的无穷小：（A）a1a0,a1；)（C）1cos4x；按x的低阶至高阶重新排列是x4.limn1⎡sinn⎢⎣nsin2n（B）xsinx；（D）ln(1x)，.（以字母表示）10dx=.，，(n1)⎤n⎥⎦sin=15.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且f(x)dx0，则存在x(0,1)，使f(x0)f(1x0)0.证法如下：00x1令F(x)f(t)dt,)内，且F(0)01xf(t)dt，x[0,1]，则F(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间，F(1)，故根据微分学中的定理知，(01x0(0,1)使得F′(x0)f(x0)f(1x0)0，证毕.二.计算题（每题6分）11.若lim(1x)x0cx2.设yy(x)是由方程eysin(xy)确定的隐函数，求y′.3.求极限limx0lnxx4.求dxx20t2e1dt2e，求c的值.y.ln(1x6)5.求x(sinxcosx)dx.2246.求2x4dx2x1x三.（8分）设f(x)edt，求f(x)dxx四.（8分）设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)1，证明方程2xf(t)dt1在开区间(0,1)内有且仅有一个根.1五.（8分）求由抛物线y2x与直线x所围成的图形绕直线y1旋转而成的2立体的体积.2t100211六.（8分）设半圆形材料的方程为yRx，其线密度为ky，(kR)求该材料的质量.七.（12分）在一高为4的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果22x2椭圆方程为4y21（单位：m），问：（1）液面在y(1y1)时，容器内液体的体积Vy与y的函数关系是什么？（2）如果容器内储满了液体后以每分钟0.16m的速度将液体从容器顶端抽出，当液面在y0时，液面下降的速度是每分钟多少m？3（3）如果液体的比重为1（N需作多少功？m3），抽完全部液体Ox高等数学（上）期末考试试卷2（答卷时间为120分钟）一.填空题（每小题4分）1.极限limf(x)存在是函数f(x)在x0处连续的xx0数f(x)在x0处连续的（A）充分（C)充分且必要2.若f′(0)1，则lim0条件；导数f′(x0)存在是函条件.——填入适当的字母即可：（B)必要（D）既不充分也不必要f(2h)f(h)h.3.设f(x)x(x1)(2x1)(3x1)(nx1)，则f′′(x)在(0,1)内有4.设f(x)是[1,1]上连续的偶函数，则[1xf(sinx)]dx个零点..5.平面过点(1,1,1)，(2,2,2)和(1,1,2)，则该平面的法向量为二.基本题（每小题7分）（须有计算步骤）2x001.求极限limx02.求定积分ln(1t)dt1cosx2..3.设yy(x)是方程eedtx10确定的隐函数，证明yy(x)是单调增加t20函数并求y′x0.4.求反常积分10u31u2du.4xtanxdx.yy2三.（10分）设a和b是任意两个满足ab1的正数，试求a⋅b的最大值（其中常数mn0）四.（10分）一酒杯的容器部分是由曲线yx（0x2，单位：cm）绕y轴旋转mn`33而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方2cm的嘴中，要做多少功？（饮料的密度为1g/cm）五.（10分）教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式xf(sinx)dx20f(sinx)dx.0如果将上式左端的积分上限换成(2k1)（kZ），则将有怎样的结果？进一步设kTf(x)是周期为T的连续的偶函数，xf(x)dx将有怎样相应的表达式？六.（10分）设动点M(x,y,z)到xOy面的距离与其到定点(1,1,1)的距离相等，M的轨迹为.若L是和柱面2zy的交线在xOy面上的投影曲线，求L上对应于1x2的一段弧的长度.x02七.（12分）设f0(x)是[0,)上的连续的单调增加函数，函数f1(x)0f0(t)dtx.（1）如何补充定义f1(x)在x0的值，使得补充定义后的函数（仍记为f1(x)）在[0,)上连续？（2）证明f1(x)f0(x)（x0）且f1(x)也是[0,)上的连续的单调增加函数；(t)dt（3）若f2(x)x0f(1t)dtx，f3(x)x0f2(t)dtx，，fn(x)x0fn1x，则对任意的x0，极限limfn(x)存在.n3高等数学（下）期中考试试卷1（答卷时间为120分钟）一.填空题（每小题6分）1.有关多元函数的各性质：（A）连续；（B）可微分；（C）可偏导；（D）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号X⇒Y表示由X可推得Y，则（2）⇒（）⇒⎨⎩(⎧()).2.函数f(x,y)xxyy在点(1,1)处的梯度为大值是.2，该点处各方向导数中的最3.设函数F(x,y)可微，则柱面F(x,y)0在点(x,y,z)处的法向为⎧F(x,y)0⎨⎩z0在点(x,y)处的切向量为.f(x,y)dy1，平面曲线4.设函数f(x,y)连续，则二次积分dx1sinx2.f(x,y)dx；f(x,y)dx.1(A)dy01f(x,y)dx；f(x,y)dx；arcsinyarcsiny(B)dy1(D)dy0arcsinyarcsiny0(C)dy0二.（6分）试就方程F(x,y,z)0可确定有连续偏导的函数yy(z,x)，正确叙述隐函数存在定理.三.