高等量子力学考试知识点

1、黑体辐射：任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。2、光电效应（条件）：当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。12𝑚𝑣2=ℎ𝑣−𝑊0临界频率v0满足𝑣0=𝑊0ℎ⁄（1）存在临界频率v0，当入射光的频率vv0时，无论光的强度多大，都无光电子逸出。只有在v≥v0时，即使光的强度较弱，但只要光照到金属表面上，几乎在10-9s的极短时间内，就能观测到光电子；（2）出射的光电子的能量只与入射光的频率v有关，而与入射光的强度无关；（3）入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积上逸出的光电子的数目。3、由于光子以光速运动，根据狭义相对论的质能关系式有𝜀2=𝑚02𝑐4+𝑝2𝑐2C是光速，m0是光子的静质量，为零，因此得到光子的能量和动量的关系是𝜀=𝑐𝑝4、康普顿效应的推导（P7）：康普顿效应还证实：在微观的单个碰撞事件中，能量守恒定律和动量守恒定律仍然成立。5、薛定谔方程：𝑖ℎ𝜕𝜑𝜕𝑡=−ℎ22𝑚𝛻2𝜑+𝑈𝜑6、概率流守恒定律∂w∂t+∇∙𝑱=0概率流密度𝑱=−𝑖ℎ2𝑚(𝜑∗𝛻𝜑−𝜑𝛻𝜑∗)7、一维无限深势阱（P31）8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足{𝜑𝑛(−𝑥)=𝜑𝑛(𝑥)（n为奇数）𝜑𝑛(−𝑥)=−𝜑𝑛(𝑥)（n为偶数）即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。9、谐振子（P35）(−ℎ22𝑚𝑑2𝑑𝑥2+12𝑚𝜔2𝑥2)𝜑(𝑥)=𝐸𝜑(𝑥)10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。11、半壁无限高（P51例2）12、玻尔磁子𝜇𝐵≡𝑒ℎ2𝑚𝑒𝑐=9.274×10−24𝐴∙𝑚213、算符𝐴̂𝐵̂≠𝐵̂𝐴̂对易子[𝐴̂,𝐵̂]≡𝐴̂𝐵̂−𝐵̂𝐴̂𝑳̂×𝑳̂=𝑖ℎ𝑳̂厄米共轭算符𝑂̂+=𝑂̂̃∗厄米算符：若𝑂̂+=𝑂̂，则称算符𝑂̂为自厄米共轭算符，简称厄米算符性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符（2）当且仅当两厄米算符𝐴̂和𝐵̂对易时，它们之积才为厄米算符，因为(𝐴̂𝐵̂)+=𝐵̂+𝐴̂+=𝐵̂𝐴̂只在[𝐴̂,𝐵̂]=0时，𝐵̂𝐴̂=𝐴̂𝐵̂，才有(𝐴̂𝐵̂)+=𝐴̂𝐵̂，即𝐴̂𝐵̂仍为厄米算符（3）无论厄米算符𝐴̂，𝐵̂是否对易，算符12(𝐴̂𝐵̂+𝐵̂𝐴̂)及12𝑖(𝐴̂𝐵̂−𝐵̂𝐴̂)必为厄米算符14、（1）力学量有确定值的条件〈(∆𝐹)2〉=0的充要条件是(𝐹̂−〈𝐹〉)φ=0，即𝐹̂𝜑=〈𝐹〉𝜑当且仅当𝜑是力学量𝐹̂的本征态时，在𝐹̂的本征态𝜑中测得𝐹̂才有确定值，而且这个确定值就是𝐹̂在这个态的平均值。（2）不同力学量同时有确定值得条件(𝐹̂𝐺̂−𝐺̂𝐹̂)φ=0𝜑必须是𝐹̂和𝐺̂的共同本征函数。15、不确定性原理（P109）16、运动积分：若算符𝐹̂对时间的全微商为零d𝐹̂dt=0则称算符𝐹̂所表示的力学量为运动积分。运动积分在任一态中的平均值都不随时间而变化，是守恒量。17、幺正算符𝑃̂−1=𝑃̂+18、对称性和守恒量：例如，时间平移不变性，对应能量守恒，意味着时间的原点不可观测；空间平移不变性，对应动量守恒，意味着空间的绝对位置不可观测；空间旋转不变性，对应角动量守恒，意味着空间的绝对方向不可观测，等等。19、习题3.2习题3.4（2）20、在量子力学中，态和力学量的具体表述方式称为表象。为表述态和算符，需要在希尔伯特空间中选定一组基底，这组基底应该是正交、归一、完备的。厄米算符的本征函数系具有正交、归一、完备、封闭性。21、幺正矩阵𝑆+=𝑆−1幺正变换不改变算符的本征值矩阵F的阵迹在幺正变换下不变22、算符𝑛̂=𝑎̂+𝑎̂称为粒子数算符；𝑎̂+称为产生算符𝑎̂称为湮没算符23、微扰（P180例1）24、泡利矩阵（P234）25、塞曼效应𝐸𝑛𝑙𝑚=𝐸𝑛𝑙+𝑒𝐵2𝑚𝑒𝑐𝑚ℎ加上外磁场后，对m的2𝑙+1度简并被消除，原来的𝐸𝑛𝑙能级分裂为2𝑙+1条能级，相邻两个能级之间的间隔是ℎ𝜔𝐿=ℎ𝑒𝐵2𝑚𝑒𝑐，𝜔𝐿=𝑒𝐵2𝑚𝑒𝑐称为拉摩频率。光谱线在外磁场中的分裂的现象称为塞曼效应。在强磁场下，不考虑自旋轨道耦合，原子光谱发生分裂的现象称为简单塞曼效应或正常塞曼效应。在磁场较弱时，要考虑电子的自旋轨道耦合能的贡献，这时原子光谱线的分裂现象，称为反常塞曼效应或一般塞曼效应。26、在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动能交换，粒子内部运动状态并无改变，则这种散射过程称为弹性散射。如果在散射过程中粒子内部运动状态有所改变，例如激发、电离等等，则称为非弹性散射。入射粒子受A的作用而偏离原来的运动方向，发生散射，角θ为散射粒子的方向与入射粒子方向间的夹角，称为散射角（P295）27、称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内禀固有属性完全相同的粒子为全同粒子。例如所有的电子是全同粒子，所有质子是全同粒子，但质子和电子不是全同粒子。全同粒子在量子力学中是不可区分的。不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。28、由电子、质子、中子这些自旋为h/2的粒子以及其他自旋为h/2的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系，它的波函数是反对称性的。这些自旋为h/2的奇数倍的粒子称为费米子。在量子统计中，由费米子组成的体系服从费米—狄拉克统计。由光子、介子等自旋为h的偶数倍的粒子组成的全同粒子体系，它的波函数是对称的。这些自旋为h/2的偶数倍或h整数倍的粒子称为玻色子。在量子统计中，由玻色子组成的体系服从玻色—爱因斯坦统计。如果有两个或两个以上的粒子的状态相同，则由于行列式中有两行或两行以上相同，这个行列式必为零。这表示不能有两个或两个以上的全同费米子处在同一个状态，这个结果称为泡利不相容原理。29、二次量子化用粒子数表象来讨论多体问题的方法，就是二次量子化方法。将力学量，如动量、角动量等用算符表示，进行量子化，也就是通常所说的一次量子化。现在，又将波函数、动力学方程的解量子化，这些动力学方程的解一般都描写场，将波函数量子化实质上就是将场量子化，从而有可能发展为量子场论。对比于力学量的量子化，波函数的量子化也称为二次量子化。30、物质在温度低于某一临界温度Tc时，电阻突然消失的现象称为超导电性。31、1938年，卡比查等人发现，如果让液HeⅡ流过一个直径约为10-5cm至10-4cm的毛细管，在流速小于某一个临界速度vm时，HeⅡ在流动过程中不出现粘滞性，粘滞系数近似为零，这种现象称为超流动性。另外，实验还发现，处在超流态下的液HeⅡ，它热传导系数差不多等于无限大，具有超热导性。32、克莱因—戈尔登方程(𝛻2𝜑−1𝑐2𝜕2𝜑𝜕𝑡2)−𝑚2𝑐2ℎ2𝜑=033、狄拉克方程由于𝑖ℎ𝜕𝜑𝜕𝑡=𝐻𝜑𝐸=√𝑐2𝑝2+𝑚2𝑐4形式上写成𝑐𝜶∙𝒑+𝛽𝑚𝑐2，式中𝜶，𝛽均与坐标、动量无关，于是𝑖ℎ𝜕𝜑𝜕𝑡=𝐻𝜑=[−𝑖ℎ𝑐𝜶∙𝜵+𝛽𝑚𝑐2]𝜑这里的𝜶，𝛽是两个算符，不可能是常数。34、电子存在负能态，为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出“空穴”理论。假定在真空状态下，所有负能态都已被电子填满，根据泡利不相容原理，在真空中运动的能量为正的电子不可能跃迁到负能态中去，这种被填满的负能态称为费米海。在负能态中的电子，它的能量和动量是不能观测的，只有从费米海中移去一个或多个电子时才会产生克观测的效应。例如，如果由于某种外来作用，把负能态中的一个电子激发到正能态，从而使得负能态中出现一个空穴（类似于某种具有正能量的东西），这是因为，原来在负能态中的电子，能量为-Ep0，质量为-m0，电荷为-e0，当它激发到正能态后，负能态中便减少了上述能量、质量和电荷，出现了一个空穴，空穴的能量为+Ep0，质量为+m0，电荷为+e0，这种空穴狄拉克称为正电子。