高等数学基础总复习

1高等数学基础期末复习题一、考核形式本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。二、试题类型填空题：每小题4分，共20分；单选题：每小题4分，共20分；计算题：每小题11分，共44分；应用题：16分。三、综合练习（一）单项选择题1.下列各函数对中，（）中的两个函数相等．22(A)()()()(B)()()fxxgxxfxxgxx34(C)()ln()3ln(D)()ln()4lnfxxgxxfxxgxx答案C注意：讨论两个函数是否相同，先看定义域，后看对应关系。2．设函数f(x)的定义域是整个x轴，则f(x)-f(-x)的图形关于（）对称.(A)(B)0(C)0(D)yxxy坐标原点答案D注意：f(x)-f(-x)是奇函数，f(x)+f(-x)是偶函数，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。3.当0x时，变量（）是无穷小量．2231sin(A)(B)(C)e1(D)xxxxxx答案C注意：极限为零的变量是无穷小量，要能看出以上的极限。4.设()fx在x=0处可导，则0(2)(0)limhfhfh（）．(A)(0)(B)(0)(C)2(0)(D)2(0)ffff答案D000000(2)(0)(02)(0)lim-2lim=-2(0)-2()()(),=-2,0hhfhffhffhhfxxfxfxxhxx解：，解答此类题要把它与导数定义式对照本题中的5.下列等式不成立的是（）．(A)()(B)sin(cos)xxedxdexdxdx11(C)()(D)ln()2dxdxxdxdxx答案D注意：必须记住常见的凑微分类型（笔记给出的7类）。6.函数322xxy在区间)4,2(内满足（）．(A)先单调上升再单调下降(B)单调上升(C)先单调下降再单调上升(D)单调下降答案B((2,4)220yx在区间内，，函数单调增加)()cos()d(A)sin(B)cos(C)sin(D)cosfxxfxxxcxcxcxc若，则（）7.．答案B;()()cosfxdxfxCxC解注意：本题主要是考察不定积分与求导（微分）互为逆运算，要记住后积分要加C,后微分要加dx;本题是先求导后积分8.若)(xf的一个原函数是x1，则)(xf（）．32211(A)ln(B)(C)(D)xxxx3答案B32231112()();()()2fxfxxxxxx解：9.xxxxd)22cos(2π2π7（）．π(A)0(B)π(C)(D)2π2答案Dππ722ππ22π2(cos22)d2d=22π2xxxxxx解：注意：这类题主要考察“对称区间奇函数积分为零”10.下列无穷积分收敛的是（）．3001111(A)cosd(B)ed(C)d(D)dxxxxxxxx答案B33011ed-033xxxe解：（二）填空题1.函数1ln()(0,0)yxaabbx的定义域是．答案axb00xaxaaxbbxxb解：注意：这类题主要是考察求定义域的三条原则，实际考题中a,b就是具体的数。2.若函数2(1)2fxxxa，则()fx．2()1fxxa答案：422221,1,()(1)2(1)21221,()1xtxtftttatttatafxxa解：令则于是，注意：这是这类题的一般解法，一定要会！实际考题a就是个数。3.若函数sin()1xfxx，当x时()fx是无穷小量．答案000sinlim()lim1=-=xxxfxx解：（）110，解题用到了重要极限14.函数210sin0xxyxx的间断点是．答案0x+-+-20,000lim1=1limsin0,lim()1lim()0,0xxxxxxfxfxx解：（），故是间断点。5.若2()lnfxx，则[(2)]f.答案0(2)ln4f解：因为是常数，而常数的导数为零。6.曲线2)(xxf在)2,2(处的切线斜率是．答案4111()=(2)422fxfx解：，注意：求斜率就是求导数。7.函数22yx的单调增加区间是．答案(0,)-+20,0,(-,0),0,(0+),0,yxxyy解：定义域（，），令解得驻点在区间函数单调减少，在区间，函数单调增加注意：这是求单调区间的一般方法，一定要会！8．xxxdedd2．答案2ex，注意：本题是先积分后求导59.11dpxx当p时收敛．11111d=-1111ppxxpxpp（当时）收敛答案1p注意：只有当p1时，才能使上限代入为零。即才能积出一个数来。10.3121d(4)xxx．注意：奇函数在对称区间的定积分为0答案0（三)计算题1.计算极限0tanlimsinxxxab．解利用重要极限1sinlim0xxx，及极限的运算法则得00tanlimlimtansinsinxxaxxaaaxbxxbbbxab如：（1）00tan8tan888limlim2sin4sin444xxxxxxxx2.计算极限5456lim221xxxxx．解221165(1)(5)42limlim45(1)(5)63xxxxxxxxxx如：（1）22316(3)(2)5limlim9(3)(3)6xxxxxxxxx6如（1）21123(1)(3)limlim4sin(1)sin(1)xxxxxxxx（2）2319(3)(3)limlim6sin(3)sin(3)xxxxxxx4.设22sinxyx，求y．解由导数四则运算法则和复合函数求导法则得2222(2)sin2(sin)(2ln2)sin2(cos2)xxxxyxxxxx222(ln2sin2cos)xxxx5.设lncosayxx，求yd．解11111(ln)(cos)cos(sin)cossin1cossinyxxxxxxxxdydxxxdxx6.设sincosxxyee，求yd．解sinsinsin(cos)()sincos(sincos)xxxxxxxxyeeeeexdyeeexdx如：sin2sin2sin(1)sin,coscos2cos(2cos)xxxyexyyexxxxexx求解：sinsinsin2ln,11cos,(cos)xxxyexyexdyexdxxx（）求dy解：22222222()22xxxxxxxyxeyxexeexexexe（3）求y解：7.计算积分lndxxx．解由换元积分法得ln1dlndlnd(ln)xxxxxxxx2ln2xc78.计算积分xxxde21．解由换元积分法得)1(dede121xxxxxcx1e9.计算积分sindxxx解由换元积分法得sinsind2d2sin()d2sind()2cos2xxxxxxxxxxcxx如：（1）xxed2edx2xxecx1113x3x33x33330003111111111110.xedxdeedx00333393991299xxxxeeeeee11111.lnd1lndlnxd1111xeeexxeexxxxxexee解：直接利用分部积分公式：12222211122212.lnd111111lndlndxlnxdx11222x241111124444eeeexxxeexxxxxxexeee解：81111ln13.dln1d2lnxdx2ln2xdx=2e411x2e4442eeeeexxxeexxxxxxe解：212111ln14.dln11l11111dlnxdlnd111xx21eeeexxxeexxxxxxxexeee解：2123333311133315.xlnxd(2)111111xlnxdlnxdlnxd11333x391111239999eeeexeexxxxxexeee解：1333222111313333322222221116.lnd()22221lndlnd()lnd1333x222424442d1333939999eeeeexxxaexxxxxxxxxeexxexeee解：（四）应用题1.用钢板焊接一个容积为43m的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有24xh所以,164)(22xxxhxxS2162)(xxxS令0)(xS，得2x，9由于S经过驻点x=2时，符号是由负变正，所以该驻点是实际问题的最小值点。当水箱的底边长为2m，高为1m时水箱的面积最小,此时的总费用最低；最低的总费用为1604010)2(S（元）.2.欲做一个底为正方形，容积为0v立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知2002,vxhvhx,222002444vvyxxhxxxxx令02420vyxx，解得302xv是唯一驻点，由于y经过驻点302xv时，符号是由负变正，所以该驻点是实际问题的最小值点。所以当302xv，30023022(2)vvhv用料最省．比如作业题：欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（解得x=5,h=2.5）这类题一定要会做！3.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为d，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足222drh圆柱体的体积公式为hrV2π将222hdr代入得)(π)(π3222hhdhhdV求导得)3(π22hdV令0V，解得dh33是唯一驻点，d10由于V经过驻点lh33时，符号是由正变负，所以该驻点是实际问题的最大值点；由此出dr36．所以当底半径dr36，高dh33时，圆柱体的体积最大．4．求曲线yx2上的点，使其到点A(,)30的距离最短．解：曲线yx2上的点到点A(,)30的距离公式为22)3(yxd，d与2d在同一点取到最小值，为计算方便求2d的最小值点，将yx2代入得xxd22)3(，求导得1)3(2)(2xd令0)(2d得25x是唯一驻点；由于2()d经过驻点25x时，符号是由负变正，所以该驻点是实际问题的最小值点；并由此解出210y。故曲线yx2上的点)210,25(和点)210,25(到点A(,)30的距离最短．注意;考试也可能是：求曲线2yx上的点，使其到点(0,2)A的距离最短(解得66363,22222x即点（，）和（-，）到点A(0,2)的距离最短)5．要建造一个容积为V的有盖圆柱形仓库，问其高和底半径为多少时用料最省？（注意：有盖和没盖！）解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为rVrrhrS2π2π2π2221122π4rVrS，由0