高三用点差法解中点弦问题专题教案

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题江夏一中郭飞教学目标：知识与技能（1）能解决弦中点等有关问题；（2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。过程与方法（1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题；（2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。情感态度与价值观（1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。（2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。教学重点：点差法适用范围教学难点：（1）弦中点问题的求解思路灵活运用（2）双曲线的中点弦存在性问题；（3）弦中点的轨迹应在曲线内。教学方法师生互动探究式教学法引言：我们把不能解决的案子，称为悬案。在圆锥曲线中也有三大弦案:中点弦、直角弦、焦点弦。今天我们学的就是中点弦。一、求过定点被定点平分的弦所在直线的方程例1、过椭圆221164xy内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在的直线方程请学生口述过程，找到处理这种问题的所在方法解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222kxkkxk又设直线与椭圆的交点为A11,xy，B（22,yx），则21,xx是方程的两个根，于是14)2(82221kkkxx，又M为AB的中点，所以214)2(422221kkkxx，解得12k，故所求直线方程为042yx。解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,yx)，B（22,yx），M（2，1）为AB的中点，所以421xx，221yy，11,yx又A、B两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx，两式相减得0)(4)(22212221yyxx，所以21)(421212121yyxxxxyy，即21ABk，故所求直线方程为042yx。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A,xy，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B4,2xy，因为A、B两点在椭圆上，所以有16)2(4)4(1642222yxyx，两式相减得042yx，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为042yx。解法四：利用点差法得出的结论22OMABbKKa得111242ABABKK故所求直线方程为042yx。解法五：学生直接由图形看出端点4,0,0,2的中点即所求直线。结论1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00,Mxy为椭圆22221xyab弦（不平行且垂直x轴）的中点，则有：22ABOMbkka例2、已知双曲线2212yx，经过点1,1M作一条直线L，使L与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点，求出直线L的方程。请学生演板，学生只求出直线方程。两位同学用了二种方法，一种韦达定理，一种点差法解：设存在被点M平分的弦AB，且),(11yxA、),(22yxB则221xx，221yy122121yx，122222yx两式相减，得0))((21))((21212121yyyyxxxx22121xxyykAB故直线)1(21:xyAB提醒学生画图观察此时的结果不正确，补充以检验。由12)1(2122yxxy消去y，得03422xx08324)4(2这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。问题1：例题1中的直线是不是也要验证呢？问题2是否也可以不验证∆0而只需通过点M与双曲线的位置关系来判断呢？也就是说中点弦的存在是否只与中点（定点）的位置有关呢答：可以。如果点M在双曲线的内部，那么以该点为中点的弦一定存在，此时不需验证∆；如果点M在双曲线的外部（如问题2），那么以该点为中点的弦可能存在也可能不存在，此时必须验证∆0。师：归纳得很好，操作性很强。以后再求解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证∆0是否成立，也可通过定点与椭圆、双曲线的位置关系来判断以定点为中点的直线是否存在。不过对于解答题，从考试得分的角度看，还是借助于判别式判断较为稳妥。注意1解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证∆0是否成立。∆在求范围，考虑直线存在性，求多个值去增根时我们用得较多。由例2请学生总结韦达定理法和点差法到底哪一种更好？生：点差法好，运算简单，形式有美感那么双曲线中我们是否有相应的结论呢？请学生分小组总结，并寻找记忆公式方法。定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00,Mxy为双曲线22221xyab弦（不平行且垂直x轴）的中点，则有22ABOMbkka圆中是否存在此定理呢？设00,Mxy为圆222xya弦（不平行且垂直x轴）的中点，则有1ABOMkk这里我们用了什么数学思想？答：类比的思想请学生做此练习练习.已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F7,0，直线y=x-1与其相交于M,N两点，MN中点的横坐标为23，则此双曲线的方程是（）A.22134xyB.22143xyC.22152xyD.22125xy由MN的中点Q的横坐标为23，Q也在直线y=x-1上，则25Qy222252MNOQbbkkaa故选D总结：这里的结论即弦中点坐标，弦斜率与曲线方程的关系。二、平行弦中点轨迹例3、已知椭圆1257522xy,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(yxM，则xxx221，yyy221又125752121xy，125752222xy两式相减得0))((75))((2521212121xxxxyyyy即0)(3)(2121xxxyyy，即yxxxyy3212132121xxyyk33yx，即0yx由12575022xyyx，得)235,235(P)235,235(Q点M在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)235235(0xyx点评:此题学生很多没写出范围，也有学生补充中点弦轨迹应在曲线内，端点取不取也可让学生思考，端点即切线得的点并非弦，所以无等号。注意2：中点弦轨迹应在曲线内小结前三个题为什么我们可以用点差法?请演板的同学回答生：例2是知弦中点坐标，曲线方程，求弦斜率生：练习是知弦中点坐标，弦斜率，求曲线方程生：例3是知弦斜率，曲线方程，求弦中点总结：这三者知二而求一，这是用点差法的依据三．过定点的弦的中点的轨迹例4、过椭圆1366422yx上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。演板的学生用参数法，主要根据是韦达定理。请学生口答补充以上两法。点差法可用公式探路，点差作答。解法一：设弦PQ中点M（yx,），弦端点P（11,yx），Q（22,yx），则有57616957616922222121yxyx，两式相减得0)(16)(922212221yyxx，又因为xxx221，yyy221，所以0)(216)(292121yyyxxx，所以yxxxyy1692121，而)8(0xykPQ，故8169xyyx。化简可得01672922yxx（8x）。解法二：设弦中点M（yx,），Q（11,yx），由281xx，21yy可得821xx，yy21，又因为Q在椭圆上，所以136642121yx，即136464)4(422yx，所以PQ中点M的轨迹方程为1916)4(22yx（8x）。四、用点差法的一类问题4.已知椭圆C:222210xyabab经过M31,2，12,FF是椭圆C的两个焦点，且124MFMF,O为椭圆C的中心。（1）求椭圆C的方程（2）设P,Q是椭圆C上不同的两点，且O为MPQ的重心，试求MPQ的面积此题请学生讲解，这种方法不仅可以吸引学生听讲，也可增强学生数学表达能力。解：（1）由椭圆的定义知2,42aa，椭圆C的方程为14222byx，带入点)23,1(M，求得32b故椭圆134:22yxC（2）当QP,在椭圆上时，不妨),(),,(2211yxQyxP，则有13413422222121yxyx，两式相减得3))((4))((21212121yyyyxxxx则2122434321212121NNyxyyxxxxyy即21PQk，直线PQ的方程为)21(2143xy即121xy，联立13412122yxxy消去y得2,022xxx或1x不妨)23,1(),0,2(QP，由椭圆对称性知29233212MPQS.此题学生求面积过于麻烦。对于不好求的可以用公式，而能求出点的要求学生观察得出结果。小结：一个方法，一个思想，二个结论，二个注意。板书用点差法解中点弦一个方法一个思想二个结论二个注意例2（法1）例4例2（法2）例5例3