高考一轮复习数学课后练习题2.4定积分与微积分基本定理

编辑：@win_任鹏旭2．4定积分与微积分基本定理一、选择题1.01(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1解析：01(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|10＝(e1＋1)－e0＝e，故选C.答案：C2．由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4C.163D．6解析：由y＝x及y＝x－2可得交点(4,2)，所以由y＝x及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为04(x－x＋2)dx＝(23x32－12x2＋2x)40＝163.答案：C3．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则12f(－x)dx的值为()A.56B.12C.23D.16解析：由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是12f(－x)dx＝12(x2－x)dx＝(13x3－12x2)|21＝56.答案：A4．由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.35．函数f(x)＝x＋2－2≤x＜02cosx0≤x≤π2，的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.32B．1C．4D.12解析：由该分段函数的图象可知编辑：@win_任鹏旭答案：C6．设集合P＝{x|0x(3t2－10t＋6)dt＝0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是()A．2B．3C．7D．8解析：依题意得0x(3t2－10t＋6)dt＝(t3－5t2＋6t)|x0＝x3－5x2＋6x＝0，由此解得x＝0或x＝2或x＝3.又x＞0，因此集合P＝{2,3}，集合P的非空子集的个数是22－1＝3，选B.答案：B二、填空题7．函数f(x)＝x3－x2＋x＋1在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积等于________．解析：f′(x)＝3x2－2x＋1，故f′(1)＝2，所以切线方程为y＝2x，由y＝2xy＝x2⇒x＝0，或x＝2，所以围成图形的面积S＝02(2x－x2)dx＝(x2－13x3)|20＝4－83＝43.答案：439．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为__________．解析：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a＜0)．S阴影＝－a0(－x3＋ax2)dx＝112a4＝112，∴a＝－1.答案：－1三、解答题10．已知－1≤a≤1，f(a)＝01(2ax2－a2x)dx，求f(a)的值域．编辑：@win_任鹏旭解析：f(a)＝01(2ax2－a2x)dx＝(2a3x3－a22x2)|10＝－a22＋2a3＝－12(a－23)2＋29.∵－1≤a≤1，∴－76≤f(a)≤29.故f(a)的值域为[－76，29]．11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又∵f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c.又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意，所求面积为13.12．一汽车在平直的公路上行驶，速度为v(t)＝6－2t＋10t＋1(单位：m/s)．司机突然发现前方不远处有人横穿公路，于是紧急刹车．那么(1)从司机开始紧急刹车至汽车完全停止，需要多少时间？(2)从司机发现行人(紧急刹车)时，该行人距汽车多远才能保证安全穿过马路？解析：(1)汽车完全停止时，v＝0，令6－2t＋10t＋1＝0，即6(t＋1)－2t(t＋1)＋10＝0.∴t2－2t－8＝0，∴t＝4(t＝－2舍去)．即需4s后，汽车才完全停止．(2)根据定积分的物理意义，从紧急刹车至汽车完全停止，所行驶的路程为s＝04(6－2t＋10t＋1)dt＝[6t－t2＋10ln(t＋1)]40＝(6×4－42＋10ln5)－(0－0＋10ln1)＝8＋10ln5.所以行人距汽车(被司机发现时)超过(8＋10ln5)m便可安全穿过马路．