高考专题强化训练数列7

高考专题强化训练——数列7一、选择题1.(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)已知函数()yfx的定义域为R，当0x时，()1fx，且对任意的实数,xyR，等式()()()fxfyfxy成立．若数列{}na满足1(0)af，且11()(2)nnfafa(nN*)，则2009a的值为()A．4016B．4017C．4018D．4019答案B2.（2009厦门乐安中学）在等差数列1077,21,5,,}{SSaSnann那么若项和为前中等于（）A．55B．40C．35D．70答案B3.(湖北省2009年3月高三八校第二次联考理科)等差数列na中，nS是其前n项和，12008a，20072005220072005SS，则2008S的值为（）2006A2006B2008C2008D答案C4.（2009宁乡一中第三次月考）等差数列{}na中，100a，110a，且1011||||aa，nS为其前n项之和，则（）A．1210,,,SSS都小于零，1112,,SS都大于零B．125,,,SSS都小于零，67,,SS都大于零C．1219,,,SSS都小于零，2021,,SS都大于零D．1220,,,SSS都小于零，2122,,SS都大于零答案C5.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）数列,,141,1}{22221211nnnnnaaaSaaaa记满足若3012mSSnn对任意*Nn恒成立，则正整数m的最小值（）A．10B．9C．8D．7答案：A.6.（抚顺一中2009届高三第一次模拟）数列{an}满足a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·an=2n，则an=Ann3Bn21C1321nD1231n答案：C.7.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）已知数列{an}满足an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+…+an，则下列结论正确的是A．a2008=–a，S2008=2b–aB．a2008=–b，S2008=2b–aC．a2008=–b，S2008=b–aD．a2008=–a，S2008=b–a答案：A.二、填空题8.(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)对于集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5．当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和2S=1+2+(2–1)=4，则当3n时，3S=______________；根据2S、3S、4S，猜想集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和nS=__________.答案12,12nn9.（2009广州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有nn21S=a33，且1Sk9，则a1的值为______，k的的值为________.答案－1,410.(湖北省孝感市2009届高三3月统考理)如图，以0,0O、1,0A为顶点作正1OAP，再以1P和1PA的中点B为顶点作正12PBP，再以2P和2PB的中点C为顶点作正23PCP，…，如此继续下去。有如下结论：①所作的正三角形的边长构成公比为12的等比数列；②每一个正三角形都有一个顶点在直线2AP（1x）上；③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点6P的坐标是63213,6464；④第n个正三角形的不在第1n个正三角形边上的顶点nP的横坐标是nx，则1nnlimx.其中正确结论的序号是_____________.（把你认为正确结论的序号都．填上）答案①②③④11.（2009江西师大附中）设等比数列{an}的前n项和2nnSa，等差数列{bn}的前n项和22nTnnb，则a＋b＝．答案-112.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）已知方程22220xmxxnx的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m-n|=。答案：23.三、解答题13.（2009龙岩一中第6次月考）某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解:(Ⅰ)依题意知，数列nA是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102nnnAnnn，2111500(1)500(1)500(1)600222nnB＝2111500500()600222nn＝11[1()]22500500600112nn＝5005001002nn(Ⅱ)依题意得，nnBA，即2500500100490102nnnn，可化简得250102nnn，可设nnf250)(，2()10gnnn又Nn，可设)(nf是减函数，)(ng是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816fgfg则4n时不等式成立，即4年14.（2009韶关一模）已知函数321,.212xFxxx（I）求122008...;200920092009FFF（II）已知数列na满足12a,1nnaFa,求数列na的通项公式;(Ⅲ)求证:123...21naaaan.解:()因为312321321211xxFxFxxx所以设S=122008...;200920092009FFF..........（1）S=200820071...200920092009FFF……….(2)(1)+(2)得:1200822007200812...200920092009200920092009SFFFFFF=320086024,所以S=3012()由1nnaFa两边同减去1,得1321112121nnnnnaaaaa所以1211211121111nnnnnnaaaaaa,所以111211nnaa,11na是以2为公差以1111a为首项的等差数列,所以1212211nnna1212121nnann因为222212121nnnn所以221212nnnn2345221,,...1234212nnnn所以2123123224422............11332121nnnnaaaaaaaann2345221......211234212nnnnn15.（2009聊城一模）过点P（1，0）作曲线)1,),,0((:kNkxxyCk的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，…。依此下去，得到一系列点M1，M2…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构成数列为na。（1）求证数列na是等比数列，并求其通项公式；（2）求证：11knan；（3）当nnnbanbk求数列令时,,2的前n项和Sn。解：（1）对kxy求导数，得),(,1knnnkaaMkxy切点是的切线方程是)(1nknknaxkaay当n=1时，切线过点P（1，0），即0;1),1(1111kkaakaakk得当n1时，切线过点)0,(11nnap，即0.1),(111kkaaaakaannnnknkn得所以数列,1,11的等比数列公比为是首项kkkkaan所以数列Nnkkaannn,)1(的通项公式为（2）应用二项公式定理，得)8(.11)11()11(11)111()1(2210分knkCkCkCCkkkannnnnnnnn（3）当nnnnnnnnSnbnbak2232221.2,2,232项和的前项数列时，同乘以.223222121,211432nnnS得两式相减，得1113222112211)211(2122122212121nnnnnnnnnnS所以nnnS22216.（2009闵行三中模拟）已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次函数12141xy图像上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。⑴求数列{yn}的通项公式，并证明{yn}是等差数列；⑵证明xn+2-xn为常数，并求出数列{xn}的通项公式；⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。解：（1）12141nny(nN),∵yn+1-yn=41,∴{yn}为等差数列………………4分（2）因为1nnnABA与211nnnABA为等腰三角形.所以112212nnnnxxnxxn，两式相减得22nnxx。………………7分注：判断22nnxx得2分，证明得1分∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6，…，x2n都是公差为2的等差数列，………………6分∴(nxna1(当n为奇数)n-a当n为偶数)………………10分（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则|AnAn+1|=2nBy=2(1214n)xn+1-xn=2(1214n)当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).2(1-a)=2(1214n)a=41211n(n为奇数，0＜a＜1)(*)取n=1，得a=32，取n=3，得a=61，若n≥5，则(*)无解；………………14分当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.∴2a=2(1214n)a=1214n(n为偶数，0＜a＜1)(*)，取n=2，得a=127,若n≥4，则(*)无解.综上可知，存在直角三形，此时a的值为32、61、127.………………18分