高考专题辅导与测试第1部分专题一第一讲预测演练提能

1一、选择题1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集个数为()A．13B．14C．15D．16解析：选C由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5,6,7,8}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.2．(2013·山东高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB＝()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．∅解析：选A由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁UB＝{3,4}，故A∩∁UB＝{3}．3．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．4．已知数列{an}是等比数列，命题p：“若a1a2a3，则数列{an}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选D若已知a1a2a3，则设数列{an}的公比为q，有a1a1qa1q2.当a10时，解得q1，此时数列{an}是递增数列；当a10时，解得0q1，此时数列{an}也是递增数列．反之，若数列{an}是递增数列，显然有a1a2a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p及其逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．5．(2013·武汉模拟)命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是()A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为02B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0解析：选B根据否命题与原命题的关系求解．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是“若x2＋y2≠0，则x≠0或y≠0”．6．下列命题错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．对命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋10，则綈p：任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x2”是“x2－3x＋20”的充分不必要条件解析：选C对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项A正确．对于B，对命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋10，则綈p：任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0，因此选项B正确．对于C，由p∧q为假命题只能得知p，q不能同是真命题，因此选项C错误．对于D，注意到由x2得x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)0；反过来，由x2－3x＋20不能得知x2，如取x＝0时，x2－3x＋20，但此时02，因此选项D正确．7．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x00.下列选项中为真命题的是()A．綈pB．(綈q)∧pC．(綈p)∨qD．q解析：选B依题意，命题p是真命题，命题q是假命题，因此綈p是假命题，(綈q)∧p是真命题，(綈p)∨q是假命题．8．(2013·福建高考)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是()A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0x≤10}C．A＝{x|0x1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q解析：选D对选项A，取f(x)＝x－1，x∈N*，所以A＝N*，B＝N是“保序同构”，3应排除A；对选项B，取f(x)＝－8，x＝－1，x＋1，－1x≤0，x2＋1，0x≤3，所以A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0x≤10}是“保序同构”，应排除B；对选项C，取f(x)＝tanπx－π2(0x1)，所以A＝{x|0x1}，B＝R是“保序同构”，应排除C.9．已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x，a∈R}，若存在a∈R，使得集合A中所有整数元素之和为28，则实数a的取值范围是()A．[9,10)B．[7,8)C．(9,10)D．[7,8]解析：选B注意到不等式x2＋a≤(a＋1)x，即(x－a)·(x－1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a.要使集合A中所有整数元素之和为28，必有a1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为7×7＋12＝28，因此由集合A中所有整数元素之和为28得7≤a8，即实数a的取值范围是[7,8)．10．已知命题p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q：关于x的函数y＝(2a－1)x在[1，＋∞)上是减函数．若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是()A.－∞，23B.0，12C.12，23D.12，1解析：选C由题知命题p等价于3a2≤1，即3a≤2，解得a≤23.对于命题q，由函数y＝(2a－1)x在[1，＋∞)上为减函数，得02a－11，即12a1.因为“p且q”为真命题，所以p和q均为真命题，所以12a≤23.二、填空题11．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________.解析：由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：412．命题“存在x0∈R，使得|x0－1|－|x0＋1|3”的否定是________________________________．解析：命题“存在x0∈R，使得|x0－1|－|x0＋1|3”的否定是“对任意的x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3”．4答案：对任意的x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤313．设S＝{x|x－1或x5}，T＝{x|axa＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是________．解析：在数轴上表示两个集合，因为S∪T＝R，如图所示，可得a－1，a＋85，解得－3a－1.答案：(－3，－1)14．已知函数y＝lg(4－x)的定义域为A，集合B＝{x|xa}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：A＝{x|x4}，由图易得a4.答案：(4，＋∞)15．(2013·海淀模拟)已知下列命题：①命题“∃x0∈R，x20＋1x0＋1”的否定是“∀x∈R，x2＋1x＋1”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题；③“a2”是“a5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．解析：命题“∃x0∈R，x20＋1x0＋1”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤x＋1”，故①错；“p∨q”为假命题说明p假q假，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题，故②对；a5⇒a2，但a2⇒/a5，故“a2”是“a5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②16．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且k∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M的个数为________．解析：由题意，知S为函数y＝lg(36－x2)的定义域内的自然数集，由36－x20，解得－6x6，又因为x∈N，所以S＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k是集合M的“酷元”是指k2与k都不属于集合M.显然当k＝0时，k2＝k＝0；当k＝1时，k2＝k＝1.所以0,1都不是“酷元”．若k＝2，则k2＝4；若k＝4，则k＝2.所以2与4不能同时在集合M中，才能称为“酷元”．5显然3与5都是集合S中的“酷元”．综上，若集合M中所含两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3与5，即M＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M共有5个．答案：5