高考中解析几何综合试题分析与复习对策

高考中解析几何简答题考查分析与复习对策从历年的高考来看,对支撑数学科知识体系的主干基础知识，考查时总是保证较高的比例并保持必要的深度，即重点知识重点考查.解析几何知识是作为中学数学的传统知识，无论是在老教材中，还是在新教材中，它都是主干知识之一，在高考中占有非常特殊的地位，所以解析几何题目是每年必考题型，并且每年基本上都是1大1小或1大2小,在这里我仅谈谈简答题的考查情况.从考查的形式上看,它主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，如与数列,平面向量,函数导数,不等式,三角函数等知识的交汇,从考查的内容上看,主要集中在曲线方程,最值问题、定值(点)问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等这类问题综合.如以广东近十年的高考为例,列表统计如下:年份题序与考点考查内容分值2001(老)文理21直线与椭圆定点问题142002(老)文理20双曲线+直线求直线方程，四点共圆142003(老)文理20直线与圆直线与圆的位置关系142004(老)文理22椭圆+双曲线+直线求直线方程142005(过)文理17抛物线+直线20直线求轨迹方程，存在性问题求直线方程，求最值14142006(过)文理18导数+向量+圆求轨迹方程142007(新)文科19椭圆+圆求方程，存在性问题14理科18椭圆+圆求方程，存在性问题142008(新)文科20抛物线+椭圆求曲线方程,存在性问题14理科18抛物线+椭圆求曲线方程,存在性问题142009(新)文科19椭圆+圆求曲线方程,求值,存在性问题14理科19抛物线+圆求曲线方程,求值142010(新)文科21抛物线+导数+不等式求切线方程,求坐标,证明不等式14理科20双曲线+椭圆求曲线方程,求值14从表中可以看出,求曲线(轨迹)方程常考，存在性问题重点考。这就要求我们在解题时需根据具体问题，综合运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式等知识，灵活运用各种常用的数学解题思想与方法..这体现了考试中心提出的应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题的思想.知识的综合性有利于选拔人才.一.主要题型与考查形式1.求曲线(轨迹)方程简考在2010年的高考中,全国共19份试题,其中13份新课程试题,仅简答题中考查求方程的就有17份（除上海，全国2外）,占近95%。曲线与方程是整个解析几何的开门砖，作为考题主要有求已知形状的曲线方程和未知形状的曲线方程两大类。例题1（1）（2010年山东卷理21）如图，已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为421。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2=1（Ⅲ）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为ca22，得2ac，又22ac4(21)，所以可解得22a，2c，所以2224bac，所以椭圆的标准方程为22184xy；所以椭圆的焦点坐标为（2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144xy（2）（2010年江苏卷18）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T（mt,）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M),(11yx，),(22yxN，其中m0,0,021yy①设动点P满足422PBPF,求点P的轨迹②设31,221xx，求点T的坐标③设9t,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）【解析】①设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由422PBPF，得2222(2)[(3)]4,xyxy化简得92x。故所求点P的轨迹为直线92x【点评】求已知形状的曲线方程常用待定系数法，可采用“先定形，后定式，再定量”。求解时要根据曲线的几何性质进行分析，理清其关系，挖掘其联系。如求圆锥曲线的标准方程是高考中的常考问题（如例1（1））。求未知形状的曲线方程在新课程高考中常采用代入法和定义法（如例1（2））。求方程问题在简答题中常出现在第一问，一般难度不大。此题包含椭圆，双曲线和直线的知识，是解析几何知识内的综合。2.存在性（探索性）问题热考存在性问题作为一类开放探究题，取消了记忆型和直接型的应用题目，加强了试题的综合性，突出了对推理能力和运算能力的考查，能较好的反映学生的数学素质，因此深受命题者喜欢，成为高考的热点例2（1）（2010年陕西卷理20）如图，椭圆C：22221(0)xyabab的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B1|=7,112211222SABABSBFBF(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，||1OP，是否存在上述直线l使1APPB成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。例2（2）（2009年广东文19）【点评】解答存在性命题一般有两种解法：一是反证法，即先假设某数学对象存在，然后据此推理或计算，直至得到存在的依据或导出矛盾，从而肯定或否定假设（如例2（1））；二是假设验证法，即在假设某数学对象存在的前提下，由特例探索可能的对象，作出猜想，然后加以验证（如例2（2））。存在性问题往往最后都转化为方程解的存在性问题，因此“算”成了解题的关键。例题2第1题是圆锥曲线与平面向量知识的交汇，向量可进行坐标运算，与解析几何的坐标思想相统一。解题的关键还是根据假设的直线，把直线与椭圆联立得到交点A，B的坐标，结合||1OP，检验1APPB是否成立，从而作出结论。3.定值，定点问题常考4.范围（最值）问题重点考5.对称问题偶尔考二.复习对策