高三高考数学国步分项分类题及析答案十

高三高考数学国步分项分类题及析答案十2-8函数与方程、函数模型及其应用基础巩固强化1.(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝(12)x－x13，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是()A．(0，13)B．(13，12)C．(12，1)D．(1,2)[答案]B[解析]f(0)＝10，f(13)＝(12)13－(13)130，f(12)＝(12)12－(12)130，∵f(13)·f(12)0，且函数f(x)的图象为连续曲线，∴函数f(x)在(13，12)内有零点．[点评]一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)(2011·杭州模拟)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|与y＝lnx的图象，∵lne＝1，e3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f(x)有两个零点．(理)(2011·陕西)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点[答案]B[解析]在同一直角坐标系中分别作出函数y＝x和y＝cosx的图象，如图，由于x1时，y＝x1，y＝cosx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.3．(文)函数f(x)＝12x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]在同一坐标系中作出函数y＝12x与y＝sinx的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．(理)(2011·深圳一检)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x1x2x3B．x2x1x3C．x1x3x2D．x3x2x1[答案]A[解析]令f(x)＝x＋2x＝0，因为2x恒大于零，所以要使得x＋2x＝0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)＝x＋lnx＝0，要使得lnx有意义，则x必须大于零，又x＋lnx＝0，所以lnx0，解得0x1，即0x21；令h(x)＝x－x－1＝0，得x＝x＋11，即x31，从而可知x1x2x3.4．(2012·河南六市模拟)若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数g(x)＝log3x－1x12xx≤1，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为()A．9B．8C．7D．6[答案]B[解析]∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，∴f(x)的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g(x)的图象，可见y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝2x(x≤1)有5个交点，y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝log3(x－1)(x1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．5．(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f(x)＝x3－4x2－x＋4不存在零点的区间是()A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4][答案]C[解析]∵f(0)＝4，f(1)＝0，f(3)＝－80，f(4)＝0，f(2)＝－6，由于在区间[0,1]，[1,2]，[3,4]内都存在零点，故选C.[点评]注意，不能由f(2)＝－60，f(3)＝－80，做出判断f(x)在区间[2,3]内无零点．6.如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选()A．P点B．Q点C．R点D．S点[答案]B[解析]设图中每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a0)，设si(i＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时si(i＝1,2,3,4)的大小．如果选在P点，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果选在Q点，s2＝6a×2＋2a＋3a×2＋4a×3＝32a，如果选在R处，s3＝6a×3＋2a×2＋3a＋4a×2＝33a，如果选在S处，s4＝6a×4＋2a×3＋3a×2＋4a＝40a，显然，中转站选在Q点时，中转费用最少．7．(2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．[答案]9[解析]本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识．∵f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋a2)2＋b－a24的最小值为b－a24，∴b－a24＝0，即b＝a24，∴f(x)＝(x＋a2)2.∴f(x)c，即x2＋ax＋bc，则(x＋a2)2c，∴c0且－a2－cx－a2＋c，∴(－a2＋c)－(－a2－c)＝6，∴2c＝6，∴c＝9.8．有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．[答案]2500m2[解析]设所围场地的长为x，则宽为200－x4，其中0x200，场地的面积为x×200－x4≤14x＋200－x22＝2500m2，等号当且仅当x＝100时成立．9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d(km)(d200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d达到n(km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n的值为________.作物项目水果蔬菜稻米甘蔗市场价格(元/kg)8321生产成本(元/kg)3210.4运输成本(元/kg·km)0.060.020.010.01单位面积相对产量(kg)10154030[答案]50[解析]设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4，则y1＝50－0.6d，y2＝15－0.3d，y3＝40－0.4d，y4＝18－0.3d，由y3≥y1，y3≥y2，y3≥y4，d200.⇒50≤d200，故n＝50.10．当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km；③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．[解析](1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，由题意可知，W＝200t12×2.8＝140t3(t≥0且t∈N)，200t16×3≤P≤200t15×3(t≥0且t∈N)，即37.5t≤P≤40t.又140t340t，即WP，所以使用液化气比使用汽油省钱．(2)①设37.5t＋5000＝140t3，解得t≈545.5，又t≥0，t∈N，∴t＝546.②设40t＋5000＝140t3，解得t＝750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提升11.(文)(2012·天津理)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0x1，∴f′(x)＝2xln2＋3x20在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，f(0)f(1)0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．[点评]有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数．(理)(2011·舟山月考)函数f(x)＝lnx＋2x－6x0－xx＋1x≤0的零点个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析]令－x(x＋1)＝0得x＝0或－1，满足x≤0；当x0时，∵lnx与2x－6都是增函数，∴f(x)＝lnx＋2x－6(x0)为增函数，∵f(1)＝－40，f(3)＝ln30，∴f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，故f(x)共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100[答案]C[解析]观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评]也可以将x＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()A．f(x)＝|x|xB．f(x)＝12x－1＋12C．f(x)＝ex－e－xex＋e－xD．f(x)＝lgsinx[答案]C[解析]根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f(x)＝|x|x不存在零点；f(x)＝12x－1＋12不存在零点；f(x)＝ex－e－xex＋e－x的定义域为全体实数，且f(－x)＝e－x－exe－x＋ex＝－f(x)，故此函数为奇函数，且令f(x)＝ex－e－xex＋e－x＝0，得x＝0，函数f(x)存在零点；f(x)＝lgsinx不具有奇偶性．14．(文)(2011·山东济宁一模)已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0B．f(x0)0C．f(x0)0D．f(x0)的符号不确定[答案]B[解析]分别作出y＝2x与y＝log12x的图象如图，当0x0a时，y＝2x的图象在y＝log12x图象的下方，所以，f(x0)0.(理)已知函数f(x)＝2x－1x≤0fx－1＋1x0，把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为()A．an＝nn－12(n∈N*)B．an＝n(n－1)(n∈N*)C．an＝n－1(n∈N*)D．an＝2n－2(n∈N*)[答案]C[解析]当x≤0时，f(x)＝2x－1；当0x≤1时，f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－1－1＋1＝2x－1；当1x≤2时，f(x)＝f(x－1)＋1＝f(x－2)＋2＝2x－2－1＋2＝2x－2＋1；…∴当x≤0时，g(x)的零点为x＝0；当0x≤1时，g(x)的零点为x＝1；当1x≤2时，g(x)的零点为x＝2；…当n－1x≤n