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高三高考数学国步分项分类题及析答案十一3-1导数的概念及运算基础巩固强化1.(文)(2011·青岛质检)设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=()A.e2B.eC.ln22D.ln2[答案]B[解析]f′(x)=1+lnx,∴f′(x0)=1+lnx0=2,∴lnx0=1,∴x0=e,故选B.(理)已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f′(1)的值是()A.12B.1C.32D.2[答案]D[解析]由条件知,y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率f′(1)=12,又点(1,f(1))在切线x-2y+1=0上,∴f(1)=1,∴f(1)+2f′(1)=1+2×12=2.2.(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y=18x2的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为()A.4B.3C.2D.12[答案]C[解析]由条件知,k=y′=14x=12,∴x=2.(理)(2012·乌鲁木齐地区二诊)直线y=12x+b与曲线y=-12x+lnx相切,则b的值为()A.-2B.-1C.-12D.1[答案]B[解析]设切点(a,-12a+lna),y′=-12+1x,∴-12+1a=12,a=1,故切点(1,-12)在直线y=12x+b上,有-12=12+b,∴b=-1.3.(文)(2011·皖南八校联考)直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点(2,3),则b的值为()A.-3B.9C.-15D.-7[答案]C[解析]将点(2,3)分别代入曲线y=x3+ax+1和直线y=kx+b,得a=-3,2k+b=3.又k=y′|x=2=(3x2-3)|x=2=9,∴b=3-2k=3-18=-15.(理)(2011·广东华南师大附中测试)曲线y=2x2在点P(1,2)处的切线方程是()A.4x-y-2=0B.4x+y-2=0C.4x+y+2=0D.4x-y+2=0[答案]A[解析]∵k=y′|x=1=4x|x=1=4,∴切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.4.已知y=tanx,x∈0,π2,当y′=2时,x等于()A.π3B.23πC.π4D.π6[答案]C[解析]y′=(tanx)′=sinxcosx′=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x=2,∴cos2x=12,∴cosx=±22,∵x∈0,π2,∴x=π4.5.(文)(2011·山东淄博一中期末)曲线y=13x3+x在点1,43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.1B.19C.13D.23[答案]B[解析]∵y′=x2+1,∴k=2,切线方程y-43=2(x-1),即6x-3y-2=0,令x=0得y=-23,令y=0得x=13,∴S=12×13×23=19.(理)(2012·烟台调研)设曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于()A.2B.-2C.-12D.12[答案]B[解析]∵f′(x)=x-1-x+1x-12=-2x-12,∴f′(3)=-12,由条件知,-12×(-a)=-1,∴a=-2.6.(文)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f′(0)=()A.26B.29C.212D.215[答案]C[解析]f′(x)=x′·[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′·x=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′·x,所以f′(0)=(0-a1)(0-a2)…(0-a8)+[(0-a1)(0-a2)…(0-a8)]′·0=a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f′(0)=84=212.(理)(2013·辽宁大连二十四中上学期期中考试)设函数f(x)=sinωx+π6-1(ω0)的导函数f′(x)的最大值为3,则f(x)图象的一条对称轴方程是()A.x=π9B.x=π6C.x=π3D.x=π2[答案]A[解析]f′(x)=ωcosωx+π6的最大值为3,即ω=3,∴f(x)=sin3x+π6-1.由3x+π6=π2+kπ得,x=π9+kπ3(k∈Z).故A正确.7.设θ为曲线y=x3+3x2+ax+2的切线的倾斜角,且所有θ组成的集合为[π4,π2),则实数a的值为________.[答案]4[解析]设切线的斜率为k,则k=y′=3x2+6x+a,又∵k=tanθ,θ∈[π4,π2),∴k∈[1,+∞).又k=3(x+1)2+a-3,∴当x=-1时,k取最小值为a-3=1.∴a=4.8.(文)(2011·北京模拟)已知函数f(x)=3x3+2x2-1在区间(m,0)上总有f′(x)≤0成立,则m的取值范围为________.[答案][-49,0)[解析]∵f′(x)=9x2+4x≤0在(m,0)上恒成立,且f′(x)=0的两根为x1=0,x2=-49,∴-49≤m0.(理)设a∈R,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f′(x),若f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为________.[答案]y=-3x[解析]f′(x)=3x2+2ax+(a-3),又∵f′(x)为偶函数,∴f′(-x)=f′(x),即3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3)对任意x∈R都成立,∴a=0,∴f′(x)=3x2-3,f′(0)=-3,∴曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.9.(2011·济南模拟)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为________.[答案]-2[解析]点(1,1)在曲线y=xn+1(n∈N*)上,点(1,1)为切点,y′=(n+1)xn,故切线的斜率为k=n+1,曲线在点(1,1)处的切线方程y-1=(n+1)(x-1),令y=0得切点的横坐标为xn=nn+1,故a1+a2+…+a99=lg(x1x2…x99)=lg(12×23×…×99100)=lg1100=-2.10.(文)设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.[解析]∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P(0,d),又曲线在点P处的切线方程为y=12x-4,P点坐标适合方程,从而d=-4;又切线斜率k=12,故在x=0处的导数y′|x=0=12而y′|x=0=c,从而c=12;又函数在x=2处取得极值0,所以y′|x=2=0,f2=0.即12a+4b+12=0,8a+4b+20=0.解得a=2,b=-9,所以所求函数解析式为y=2x3-9x2+12x-4.(理)已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值12.(1)求a、b的值;(2)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.[解析](1)因为函数f(x)=ax2+blnx,所以f′(x)=2ax+bx.又函数f(x)在x=1处有极值12,所以f′1=0,f1=12,即2a+b=0,a=12,可得a=12,b=-1.(2)由(1)可知f(x)=12x2-lnx,其定义域是(0,+∞),且f′(x)=x-1x=x+1x-1x.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)f′(x)-0+f(x)↘极小值↗所以函数y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞).能力拓展提升11.(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数y=x33-x2+1(0x2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是()A.π4B.π6C.5π6D.3π4[答案]D[解析]y′=x2-2x=(x-1)2-1,∵0x2,∴-1≤y′0,由题意知-1≤tanα0,∴3π4≤απ,故选D.12.(2011·广东省汕头市四校联考)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)12,则f(x)x2+12的解集为()A.{x|-1x1}B.{x|x-1}C.{x|x-1或x1}D.{x|x1}[答案]D[解析]令φ(x)=f(x)-x2-12,则φ′(x)=f′(x)-120,∴φ(x)在R上是减函数,∵φ(1)=f(1)-12-12=1-1=0,∴φ(x)=f(x)-x2-120的解集为{x|x1},选D.13.(文)二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线,则函数y=f(x)的图象的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)=ax2+bx,f′(x)=2ax+b,由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线,故2a0,b0,则f(x)=a(x+b2a)2-b24a,顶点(-b2a,-b24a)在第三象限,故选C.(理)函数f(x)=xcosx的导函数f′(x)在区间[-π,π]上的图象大致为()[答案]A[解析]∵f(x)=xcosx,∴f′(x)=cosx-xsinx,∴f′(-x)=f′(x),∴f′(x)为偶函数,排除C;∵f′(0)=1,排除D;由f′π2=-π20,f′(2π)=10,排除B,故选A.14.(2011·朝阳区统考)若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.[答案](-∞,0)[解析]由题意,可知f′(x)=3ax2+1x,又因为存在垂直于y轴的切线,所以3ax2+1x=0⇒a=-13x3(x0)⇒a∈(-∞,0).15.(文)已知曲线y=13x3+43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.[解析]y=13x3+43,则y′=x2.(1)由题意可知点P(2,4)为切点,y′|x=2=22=4,所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)由题意可知点P(2,4)不一定为切点,故设切点为(x0,13x30+43),y′|x=x0=x20,曲线过点P(2,4)的切线方程为y-(13x30+43)=x20(x-x0),所以4-(13x30+43)=x20(2-x0),x30-3x20+4=0⇔(x30+1)-3(x20-1)=0⇔(x0+1)(x20-4x0+4)=0.解得x0=-1或x0=2,即切点为(-1,1)或(2,4).所以曲线过点P(2,4)的切线方程为x-y+2=0和4x-y-4=0.(理)设函数f(x)=ax+bx的图象在点M(3,f(3))处的切线方程为2x-3y+23=0.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.[解析](1)因为切点在切线上,所以将点M坐标代入切线方程解得f(3)=433.∵f(x)=ax+bx,∴f′(x)=a-bx2,根据题意,得关于a,b的方程组a-b3=23,3a+b3=433,解得a=1,b=1.所以f(x)的解析式为f(x)=x+1x.(2)由f′(x)=1-1x2(x≠0),令f′(x)0,解得-1x0或0x1.所以f(x)的单调递减区间为(-1,0),(0,1).(3)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1-1x2知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1-1x20)(x-x0),即y-(x0+1x0
本文标题:高三高考数学国步分项分类题及析答案十一
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