高考排列组合常见模型与解题策略

1排列、组合问题的常考模型及解题策略在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题（区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看选出的元素与顺序是否有关——若交换两个元素的位置对结果产生影响，则属排列问题；无影响时则属组合问题！），牢记排列数、组合数计算公式与性质。难点在于容易计数重复或遗漏。Ⅰ.基本概念和公式⒈两个原理：⑴分类计数原理⑵分步计数原理说明：“分类”问题中，各种方法相互独立，使用每种方法都可以完成这件事；“分步”问题中，各种方法相互依存，只有每步都完成，才算完成了这件事.⒉排列与排列数：⒊组合与组合数：⒋公式：①)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn②!123)2)(1(nnnnAnn其中：；！！110；！22；！63…③)!(!!123)2)(1()1()2)(1(mnmnmmmmnnnnAACmmmnmn其中：10nnnCC④mnnmnCC；mnmnmnCCC11；.11knknnCkC（组合数的三大性质！）⑤!)!1(!nnnn；.)!1(1!1)!1(nnnn（两个重要的裂项公式！）思：nnnnnnCCCC32132；!100100!33!221；!100!99!43!32!21.Ⅱ.常见模型与解题策略2⒈两种计数原理的直接应用⑴映射个数的计算Ex:①设集合A中有m个元素，B中有n个元素，则可建立从A到B的不同映射个.②设集合，3,2,1N,,,Mcba从M到N满足)()()(cfbfaf的映射f共有个.③设集合,1,0,1,,,QcbaP映射QPf:中满足0)(bf的共有个.⑵重排问题（即相同元素可重复参与的排列问题）——可用分步计数原理去解Ex:①用0～7这八个自然数可以组成个不同的四位数.②把8名教师分配到3所学校监考，共有种不同的分法.③有3个比赛项目，6人报名参加，每人参加一项，共有种不同的报名方法.④将4封信投入3个不同的信箱，共有种不同的投法.⑶染色问题Ex:①如图所示，一个地区分为四个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有四种颜色可供选择，则不同的着色方案共有种.②若将上一题中的区域改为5个，如上图（右），则不同的着色方案有种.③如图所示，一环形花坛分成ABCD，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96B．84C．60D．48DBCA3⑷其它问题Ex:①在一个已经排定的节目单中共有7个节目，临播前需新插入2个节目，共有种不同的插入方法.②甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种⒉特殊元素或特殊位置的排列问题——优先考虑特殊元素（位置）Ex:①2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.36种B.12种C.18种D.48种②用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.328B.324C.360D.648③从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有一人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.49B.85C.56D.28④从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数的个数为（）A.180B.300C.216D.162⑤某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，乙不排在第一位，并不排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A.36种B.42种C.48种D.54种⒊相邻元素的排列问题——捆绑法Ex:①7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻的站法共种.②记者要为5名志愿者和他们帮助过的2位老人拍照，要求站成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A.960种B.480种C.720种D.1440种⒋相离元素的排列问题——插空法Ex:①5名男同学和4名女同学排成一排，4名女同学均不相邻的排法种数为.②在上述问题中，若要求男女相间排列，则不同的站法共有种.4③在数字1,2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任两个数字都不相邻的全排列个数为（）A.12B.24C.6D.18④3位男生和3位女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且仅有2人相邻，则不同的站法种数为（）A.288B.360C.96D.216⑤由1,2，3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数为.这其中又存在一类特殊模型——入座问题（座位固定，人在不相邻的座位上入座）例如：①一排共10个座位，4人去坐，则他们均不相邻的坐法有种.②马路上有9只灯，为节约用电，现要求把其中3只关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则关灯方法数为种.⒌定序排列问题——比例处理（除法处理）Ex:①有3名男生和2名女生排成一队，若女生顺序一定，则共有种不同的排法.②7人站成一列，甲站在乙、丙的前面的方法共有种.③今有2个红球，3个黄球，4个白球，同色球不加以区分，若将这9个球排成一列，有种不同的排法.④由3个3和4个4可以组成个不同的七位数.⒍多排问题直排处理的策略Ex:7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排4人，共有种不同的坐法.⒎环排问题的公式n个不同元素作环状排列，不同的排法数为!.1-n）（Ex:8个人围一圆桌吃酒，则有种不同的坐法.⒏排组的混合问题——先选再排Ex:①将4个不同的小球放入标号为1，2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有种.模型：将n个不同元素排到n-1个不同的位置上，每个位置都不空的排法数为：.112nnnAC5将n个不同元素排到n个不同的位置上，恰有一个空位的排法数为：.1121nnnnACC②7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有种.③甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是.④将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级，每个班至少分到一名，且甲、乙两名学生不能分到同一个班级，则不同的分法有种.⑤7人站成一排，要求甲、乙两人之间恰好隔三人的站法有种.⒐正难则反，选用淘汰法（剔除法）的策略Ex:①甲、乙、丙、丁四人进行4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒的接力方法共有种.②从5名男医生和4名女医生中选3名组成一个医疗队，要求男女都有，则不同的组队方法共有种.③甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A.6种B.12种C.30种D.36种④某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在1日，丁不排在7日，则不同的安排方案共有（）A.504种B.960种C.1008种D.1108种⑤以长方体的8个顶点为顶点，可以构成的四面体个数为.⒑分组问题无序分组问题中，可按照分步计数原理计算方法数.不平均分组时，根据每组的元素数直接选；平均分组时，依次把每组的元素选出后再除以组数的阶乘！例如：将6人分成两组，一组2人，一组4人的分法数为.4426CC将6人平均分成两组的分法数为;223336ACC平均分为3组的方法数：.33222426ACCC有序分组问题中，先进行无序分组，再将每一组看成一个整体元素进行排列！例如：将6名医生分配到两所医院，一所分2人，一所分4人，分法数.224426ACC将6名医生平均分配到3所医院的分法数为.3333222426AACCC6Ex:①将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配1名志愿者的方案种数为.②北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A.484121214CCCB.484121214AACC.33484121214ACCCD.33484121214ACCC③12个篮球队中有3个强队，将这12个对任意分成3个组（每组4个对），则3个强队恰好被分到同一组的概率为.④为庆祝六一儿童节，某食品长制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片.集齐3种卡片可获奖.现购买该食品5袋，能获奖的概率为.⑤将6名志愿者分成4组，其中两个组各2名，另两组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种.⒒换座模型2人换座的方法数：1种；3人换座的方法数：2种；4人换座的方法数：9种.Ex:①7人站成一排，若将其中4人位置交换，共有种方法.②同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿一张，则他们均拿到了别人送来的贺年卡的概率为.③将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填法共有.④如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，不同的涂色方案共有种.⑤有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”，“立定跳远”，“肺活量”，“握力”，“台阶”五个项目的测试.每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”，下午不测“台阶”，其余项目上、下午都各测1人，则不同的安排方式有种.⒓鞋子成双模型Ex:①从5双不同鞋子中取出4只，恰有2只成双的概率为.②盒子中装着标有数字1,2，3,4的卡片各2张，从中抽出3张，3张卡片数字均不同的概率为.7③从52张的扑克牌中，任取3张，它们花色不同的取法共种.⒔相同元素的排列问题——隔板法Ex:①将11个相同的小球放入5个不同的盒子中，每个盒子都不空的放法数为.②将12个相同的小球放入编号1,2,3的盒子中，每个盒子里的小球数均不小于编号的放法有种.③甘肃省教育厅将10个省级大学优秀毕业生名额分给三所高校，每校至少2人的分配方法有种.④若Zzyx,,，则方程14zyx的解的个数为⒕数字的特殊排列问题能被2,3，6，25整除的数字特征？？？Ex:①从0～9这十个数字中任取3个数字组成一个无重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（）A.5435B.5419C.5438D.6041②由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A.210个B.300个C.464个D.600个③由数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，且比21345大的五位正整数的个数为⒖几何中的排组问题此种题型没有固定的思维模式，比较灵活，我们没有太好的解题方法，只能具体问题具体对待.Ex:①在五棱锥的各棱所在的10条直线中，异面直线共有对.②四面体的顶点与各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有③如果一条直线与一个平面垂直，那么就称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为.④考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A.751B.752C.753D.754