材料工程基础第一章部分讲解及课后答案

•拉格朗日描述•欧拉描述f=f(a,b,c,t)说明：f为流体质点的某一物理量，上式表示在运动初始时刻坐标为(a,b,c)的流体质点在t时刻该物理量的值或表达式。)),(),(),((zyxFf说明：①用其表示流体质点在不同时刻运动到空间某一点的位置②在直角坐标系中，欧拉坐标可以直接用直角坐标(x,y,z)表示。位置),,,(cbarr或),,,(),,,(),,,(cbazzcbayycbaxx速度),,,(cbauu或),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(cbazcbaucbaycbaucbaxcbauzyx加速度22),,,(),,,(),,,(cbaxcbaucbaaxx22),,,(),,,(),,,(cbaycbaucbaayy22),,,(),,,(),,,(cbazcbaucbaazz•拉格朗日描述位置)),(),(),((zyxrr或)()()(zzyyxx速度)),(),(),((),(zyxurudrdu或ddzzyxuuddyzyxuuddxzyxuuzzyyxx),,,(),,,(),,,(•欧拉描述ddzzuddyyuddxxuududzyxa),,,(加速度uuuzuuyuuxuuuzyx)(——哈密顿算子；zkyjxi1-1流体质点的位置用表示，求其速度的拉格朗日描述与欧拉描述。,22,22,cbecbezcbecbeyax;22;22;0cbecbezcbecbeyxuuuzyx解：速度的拉格朗日描述由已知条件得：ezycbezycbxa;;代入上式得速度的欧拉描述：0;;2222;2222xyzyzyzyzyzeezeeyzyzyzyzeeyeeuuu1-2设流体运动的欧拉描述为试求流体运动加速度的欧拉描述和拉格朗日描述（a+b=0）,0,,22zyxubyuaxu解：加速度的欧拉描述为：2222002axaaxazuuyuuxuuudduxzxyxxxxxa222bybzuuyuuxuuudduyzyyyxyyya0zuuyuuxuuudduzzzyzxzzza0ddz,ddy,ddx22zyxubyuaxu由积分得：;223221aaaecxa;223222bbbecyb3cz022c,,033231baccbbcaaczbyax又因：代入上式得：时刻，当czaaaeaayaaaeaaxaa;222;22232233223）（）（所以：流体运动加速度的拉格朗日描述为;0;22;22322322aaazayaxaeaayaeaax1-3流体运动的速度由给出，当τ=1时，求质点p(1,3,2)的速度及加速度（即求速度和加速度的拉格朗日描述）xzyxu,,22解：由题意，流体运动的速度的欧拉描述为xzyxuuuzyx;;22xzuddzyuddyxuddxzyx;;22233212c;e;23ezcycx积分得：代入已知条件τ=1时刻，质点p的坐标为（1，3，2）;2;3e;3223-121eccc求得：11233122ez)1(332eyx求得：所以，流体运动的速度的拉格朗日描述为)11(2)1(31234;e3;43ezyxuuuzyx所以，流体运动加速度的拉格朗日描述为)11(8);(2e3;12)11(233)1(3143euuuzzyyxxaaa1-4流体运动的速度由描述（1）求其加速度的欧拉描述（2）求矢径r=r(a,b,c,τ)的表达式和加速度的拉格朗日描述（3）求流线和迹线23,,111xyzxyzuuu解：（1）加速度的欧拉描述为222121412xxxzuuyuuxuuudduxzxyxxxxxa216yzuuyuuxuuudduyzyyyxyyya0zuuyuuxuuudduzzzyzxzzza分别对速度的欧拉描述进行积分得：1;13;12zuddzyuddyxuddxzyx因：11;133221czcycx所以：（2）由题意得：τ=0时，x=a,y=bz=c;代入上式有：111b;;32321czbyaxcccac所以：cczubbyuaaxuzyx1;131;121232所以：0;16;2,zabuaauazyyxx：拉格朗日描述的加速度所以（3）由流线方程得：;;;1131233122113121czyczxcyxzdzydyxdx即质点的迹线方程为：1;13;12zuddzyuddyxuddxzyx因：分别积分得：11;133221czcycx所以：τ=0时，x=a,y=bz=c;代入上式有：111b;;32321czbyaxcccac质点的迹线方程为所以：12处流体质点的迹线。时在时刻的流线方程；求为常数，与其中为设流体运动的欧拉描述cbaakaxkky,,021,0u,u,u61zyx解：（1）由流线方程axkdykydxkydydxaxkCkyxkakx22212112221Cxayx（2）由迹线方程定义可写出302;1;zyxuddzaxkuddykyuddx对（2）式求二阶导数addxkdyd22又因kyddxkaykdyd222二阶线性非齐次常微分方程所以，求得其通解为kakCkCysincos21代入（1）式得：akCkCdakkCkkCxakkCkkCakkCkkCkyuddxxcossin]sincos[sincossincos43212121所以：则欧拉描述的迹线为：52143sincoscossinCzkakCkCyakCkCxkabCa14,Cczb,ya,x0：的已知条件可求的时，代入所以，在（a,b,c）处流体质点的迹线为523sincoscossinCzkakCkkabyakakCx的迹线。通过时的流线及试求通过设流体的速度为1,10,1,1,0,,u71xyxyxuyuxzy解：（1）由流线方程对此积分可得,ydyxdx211111CCCeyxCynxnc得：，代入过空间点2111yx的流线为：，则通过空间点（2）由迹线方程1Cy,10,,21eeCxddzyddyxddx对此积分可得,0,011021CC得：，时过空间点代入已知条件，当的迹线方程为：，时过空间点所以当11011yx动是否有旋。流体是否可压，流体运求散度和旋度，并判断中的流体，描述流体速度用同样还是习题1,13,12u481xzuyuxzy解：（1）根据散度和旋度的定义，可得：16111312zuyuxuuudivzyx0kyuxujxuzuizuyuuuuzyxkjiuurotxyzxyzzyx（2）由连续性方程得，当流体不可压时应满足：0u016u又因所以流体可压缩0urot又因由上面得所以流体无旋1.1一块面积为24045cm，高为1cm的木块，质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动。已知1/,1umsmm，求润滑油的动力粘性系数。解：根据牛顿粘性定律：duFAdy20.40.450.18Am30110001/1100dusdy5sin59.818.8413FmgN18.840.10/0.18(1000)FPasduAdy1-101-11图示为一水平方向运动的木板，其速度为1m/s。平板如在油面上，，油的。求作用在平板单位面积上的阻力。10mm0.09807Pas解：1-12试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续条件：解：由流体的连续性方程得，当流体不可压缩时，0divudd00zuyuxudivuzyx即：（1）00220222xxzuyuxudivuuxyuyxuzyxzyx所以：满足不可压缩的条件（2）0000222222zuyuxudivuyxuxzuzyuzyxzyx所以：满足不可压缩的条件1-13试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续条件：（3）由题有(2),2,0yxzuuukxykyxyz(2)20(23)0yxzuuukxykykxyxyz该流场不满足不可压连续性方程（4）由题有cos,cos,0yxzuuukyxykxxyxyzcos(cos)0()cos0yxzuuukyxykxxykyxxyxyz该流场不满足不可压连续性方程201.2在封闭端完全真空的情况下，水银柱差250Zmm，求盛水容器液面绝对压强1p和液柱高度1Z。解：由流体静压强分布规律：0ppgh和等压面的关系得：222111pgZpgZ而左端为真空，即2=0p所以：312213.6109.80.056664PapgZ3221113.6109.80.050.68m10009.8gZZg1-1521习题1.3水管上安装一复式水银测压计，如图1.3所示。问1234,,,pppp哪个最大？哪个最小？那些相等？为什么？解：题中，1p最小，2p和3p相等，而4p最大。由流体静压强分布规律及等压面的关系得：1222Bppghpgh汞水对与等压面B-B，232