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函数、导数及其应用导数【考纲知识梳理】一、变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为2121()()fxfxxx,若21xxx,21()()yfxfx则平均变化率可表示为yx。2、函数y=f(x)在x=x0处导数:(1)定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率0000()()limlimxxfxxfxyxx为y=f(x)在x=x0处导数,记作0000000()()()|,()limlimxxxxfxxfxyfxyfxxx或即(2)几何意义:函数f(x)在点x处的导数0()fx的几何意义是在曲线y=f(x)上点(0x,0()fx)处的切线的斜率。相应地,切线方程为y-y0=0()fx(x=x0).3、函数f(x)的导数:称函数0()()()limxfxxfxfxx为函数f(x)的导函数,导函数有时也记作y。注:求函数f(x)在x=x0处的导数的方法:方法一:直接使用定义;0000()()()limxfxxfxfxx;方法二:先求导函数0()()()limxfxxfxfxx,再令x=x0求0()fx4、基本初等函数的导数公式函数导数yc'0y*()()nyfxxnQ1'nynxsinyx'cosyxcosyx'sinyx()xyfxa'ln(0)xyaaa()xyfxe'xye5、导数运算法导数运算法则1.'''()()()()fxgxfxgx2.'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx3.'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx6、复合函数的导数:复合函数yfgx的导数和函数yfu,ugx的导数间的关系为xuxyyu,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题1、函数的单调性与导数:在某个区间(a,b)内,如果()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递增;如果()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递减。如果()0fx,那么函数()yfx在这个区间上是常数函数。注:函数()yfx在(a,b)内单调递增,则()0fx,()0fx是()yfx在(a,b)内单调递增的充分不必要条件。2、函数的极值与导数:(1)曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,判断f(x0)是极大(小)值的方法是:(1)如果在x0附近的左侧f’(x)0,右侧f’(x)0,那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f’(x)0,右侧f’(x)0,那么f(x0)是极小值.注:导数为0的点不一定是极值点3、函数的最值与导数:函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数()yfx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值。4、生活中的优化问题:解决优化问题的基本思路是:优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案()logafxx1'()(01)lnfxaaxa且()lnfxx'1()fxx【热点、难点精析】一、变化率与导数、导数的运算(一)利用导数的定义求函数的导数1、相关链接(1)根据导数的定义求函数()yfx在点0x处导数的方法:①求函数的增量00()()yfxxfx;②求平均变化率00()()fxxfxyxx;③得导数00()limxyfxx,简记作:一差、二比、三极限。(2)函数的导数与导数值的区间与联系:导数是原来函数的导函数,而导数值是导函数在某一点的函数值,导数值是常数。2、例题解析〖例1〗求函数y=24x的导数。解析:22)(24xxxxxxy,00limlimxxxy22)(24xxxxx=-38x。〖例2〗一质点运动的方程为283st。(1)求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;(2)求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及求求导两种方法)分析(1)平均速度为st;(2)t=1时的瞬时速度即283st在t=1处的导数值。解答:(1)∵283st∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,63svtt.(2)定义法:质点在t=1时的瞬时速度00limlim(63)6ttsvtt求导法:质点在t时刻的瞬时速度2()(83)6vsttt,当t=1时,v=-6×1=-6.注:导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法,诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。(二)导数的运算1、相关链接(1)运用可导函数求导法则和导数公式,求函数()yfx在开区间(a,b)内的导数的基本步骤:①分析函数()yfx的结构和特征;②选择恰当的求导法则和导数公式求导;③整理得结果。(2)对较复杂的函数求导数时,诮先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。(3)复合函数的求导方法求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为求基本函数的导数解决。①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量;②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量;③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数;④复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程。2、例题解析〖例〗(1)求)11(32xxxxy的导数;(2)求)11)(1(xxy的导数;(3)求2cos2sinxxxy的导数;(4)求y=xxsin2的导数;(5)求y=xxxxx9532的导数分析:先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆。解:(1)2311xxy,.2332'xxy(2)先化简,2121111xxxxxxy.112121212321'xxxxy(3)先使用三角公式进行化简.xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21''''xxxxxy(4)y’=xxxxx222sin)'(sin*sin)'(=xxxxx22sincossin2;(5)y=233x-x+5-219xy’=3*(x23)'-x'+5'-921(x)'=3*2321x-1+0-9*(-21)23x=1)11(292xx(三)导数的几何意义【例】已知曲线31433yx,(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;(3)求斜率为4的曲线的切线方程。分析:切点坐标切线斜率点斜式求切线方程解答:(1)(2,4)P在曲线31433yx上,且2yx∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=2|xy=4;∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线31433yx与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0,301433x),则切线的斜率020|xxkyx,∴切线方程为y(301433x)=20x(x-0x),即23002433yxxx∵点P(2,4)在切线上,∴4=220x302433x,即3200340xx,∴322000440xxx,∴(x0+1)(x0-2)2=0解得x0=-1或x0=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(3)设切点为(x0,y0)则切线的斜率为k=x02=4,x0=±2.切点为(2,4),(-2,-4/3)∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)即4x-y-4=0和12x-3y+20=0注:(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”,还是“过某点的切线”;(2)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决。二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例(一)函数的单调性与导数1、相关链接(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法①确定函数f(x)的定义域;②求f’(x),令f’(x)=0,求出它们在定义域内的一切实根;③把函数f(x)的间断点(即f(x)无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。④确定f’(x)在各个开区间内的符号,根据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。注:当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f’(x)0(或f’(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间。(2)证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤①求f’(x);②确认f’(x)在(a,b)内的符号;③作出结论:f’(x)0时为增函数;f’(x)0时为减函数。(3)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应注意函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f’(x)≥0(或f’(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,且f’(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f’(x)=0,甚至可以在无穷多个点处f’(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。2、例题解析〖例〗(安徽·合肥168中高三段考(理))(本小题满分13分)已知函数2472xfxx,01x,(Ⅰ)求fx的单调区间和值域;(Ⅱ)设1a,函数223201gxxaxax,,,若对于任意101x,,总存在001x,,使得01gxfx成立,求a的取值范围解:对函数fx求导,得2241672xxfxx,221272xxx令0fx,解得112x或272x当x变化时,fx,、fx的变化情况如下表:]x010,2121,121fx,—0+fx72—4—3所以,当102x,时,fx是减函数;当112x,时,fx是增函数;当01x,时,fx的值域为43,(Ⅱ)对函数gx求导,得223gxxa,因此1a,当01x,时,2310gxa,因此当01x,时,gx为减函数,从而当01x,时有10gxgg,又21123gaa,02ga,即当1x0,时有21232gxaaa,任给11x0,,143fx,,存在001x,使得01gxfx,则2123243aaa,,即212341232aaa()()解1()式得1a或53a解2()式得32a又1a,故:a的取值范围为312a(二)函数的极值与导数1、相关链接(1)求函数f(x)极值的步骤①确定函数f(x)的定义域;②求导数f’(x);③求方程f’(x)=0的根。④检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点(最好
本文标题:高中导数应用
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