高中必修1-5错误解题分析系列-《82平面向量与代数几何的综合应用》

§8.2平面向量与代数、几何的综合应用一、知识导学1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos22222.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即RCcBbAa2sinsinsin二、疑难知识导析1．初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当C=2时，Ccos=0，此时有222bac；2．由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。三经典例题导讲[例1]在ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()A．3B．6C．32D．3或32错解：选A错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。正解：∵a2＝b2＋bc＋c2＝b2＋c2－2bc(－21)＝b2＋c2－2bc·cos32∴∠A＝32选C.[例2]在△ABC中，已知BbAacoscos，试判别其形状。错解：等腰三角形。错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由BbAacoscos得，BBAAcossincossin，即BA2sin2sin，则BA22。接着下结论，所求三角形为等腰三角形正解：由BbAacoscos得，BBAAcossincossin，即BA2sin2sin则BA22或018022BA，故三角形为直角三角形或等腰三角形。[例3]在ABC中26,30cC，试求ABC周长的最大值。并判断此时三角形的形状。错解：由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最值错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。正解：由正弦定理,得a=2(26)sinA,b=2(26)sinB.a+b=2(26)(sinA+sinB)=4(26)sin2BAcos2BAsin2BA=sin75o=426a+b=(26)2cos2BA≤(26)2=8+43.当a=b时,三角形周长最大,最大值为8+43+26.此时三角形为等腰三角形[例4]在ABC中，5:8||:||,60ABACA，其内切圆面积为12，求ABC面积。分析：题中涉及到内切圆，而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。解：由已知,得内切圆半径为23.由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14.[例5]已知定点A(2,1)与定直线l:3x-y+5=0,点B在l上移动,点M在线段AB上,且分AB的比为2,求点M的轨迹方程.分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带.解:设B(x0,y0),M(x,y)∴AM=(x-2,y-1),MB=(x0-x,y0-y),由题知AM=2MB∴)(21)(2200yyyxxx21322300yyxx由于3x0-y0+5=0,∴3×223x-213y+5=0化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0[例6]过抛物线:y2=2px(p0)顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB(如图),求证:直线AB过一定点,并求出这一定点.分析:对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a//bx1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.证明:由题意知可设A点坐标为(pt221,t1),B点坐标为(pt222,t2)∴OA=(pt221,t1),OB=(pt222,t2),∵OA⊥OB,∴OA•OB=0pt221•pt222+t1•t2=0t1•t2=-4p2①设直线AB过点M(a,b),则BM=(a-pt222,b-t2),BA=(pt221-pt222,t1-t2),由于向量BM与BA是共线向量,∴（a-pt222）(t1-t2)=(b-t2)(pt221-pt222)化简得2p(a-2p)=b(t1+t2)显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立∴直线AB过定点,且定点坐标为M(2p,0)四典型习题导练1．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x，则第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜5B．5＜x＜13C．13＜x＜5D．1＜x＜52．ABC三顶点)3,2(),4,3(),1,1(CBA，则ABC的面积为___。3．△ABC中，若边a：b：c＝2：(1＋3)：2，则内角A＝。4．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到0，测得塔顶A仰角为30°，则塔高＝。5．在△ABC中，已知B＝30°，b＝50，c＝150，解三角形并判断三角形的形状。6．在△ABC中，已知CBAcotcotcot＝，判定△ABC是什么三角形。