高中数列知识点总结

1数列知识点总结第一部分等差数列一定义式：1nnaad一个数列是等差数列的等价条件：banan(a，b为常数)，即na是关于n的一次函数，因为nZ，所以na关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。二通项公式：na1()(1)manmdand三性质结论1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d；4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d2.a与b的等差中项2abA；在等差数列na中，若mnpq，则mnpqaaaa；若2mnp，则2mnpaaa；3.若等差数列的项数为2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,nAaaa122nnnBaaa，21223nnnCaaa，则有CAB2；5.10a,mnSS,则前2mnS(m+n为偶数)或12mnS(m+n为奇数)最大第二部分等比数列一定义：1(2,0,0){}nnnnaqnaqaa成等比数列。二通项公式：11nnqaa，nmnmaaq数列{an}是等比数列的一个等价条件是：(1),(0,01nnSabab，）当0q且0q时，na关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。三性质结论：1.a与b的等比中项G2GabGab(,ab同号)；2.在等比数列na中，若mnpq，则mnpqaaaa；若2mnp，则2mnpaaa；3.设12,nAaaa，122nnnBaaa，21223nnnCaaa，则有2BAC第三部分求递推数列通项公式na2类型一：累加法形如a1n＝an+f(n)，其中f(n)为关于n的多项式或指数形式（an）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．类型二：累积法形如)(1nfaann.其中f(n)=ppcmnbmn)()(（p≠0，m≠0,b–c=km,k∈Z）或nnaa1=kn（k≠0）或nnaa1=kmn(k≠0,0＜m且m≠1)．类型三：形如1nnaa=1nnqapa，（pq≠0）．且0na的数列，——可通过倒数变形为基本数列问题．当p=－q时，则有：paann1111转化为等差数列；当p≠－q时，则有：ppaqann111．同类型五转化为等比数列．类型四：特征根法形如a1n＝pan+q,pq≠0，p、q为常数．当p＝1时，为等差数列；当p≠1时，可在两边同时加上同一个数x，即a1n+x=pan+q+xa1n+x=p(an+pxq)，令x=pxq∴x=1pq时，有a1n+x=p(an+x)，从而转化为等比数列{an+1pq}求解．类型五：形如a1n＝pan+f(n)，p≠0且p为常数，f(n)为关于n的函数．当p＝1时，则a1n＝an+f(n)即类型一．当p≠1时，f(n)为关于n的多项式或指数形式（an）或指数和多项式的混合形式．⑴若f(n)为关于n的多项式（f(n)=kn+b或kn2+bn+c，k、b、c为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．⑵若f(n)为关于n的指数形式（an）．①当p不等于底数a时，可转化为等比数列；②当p等于底数a时，可转化为等差数列．第四部分求前n项和nS一：公式法求和直接用等差、等比数列的求和公式求和。3dnnnaaanSnn2)1(2)(11)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn公比含字母时定要讨论6)12)(1(21222nnnn2333]2)1([21nnn二.裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5）n·n!=(n+1)!-n!（6）c/(（n+a）（n+b）)=(c/(a-b))*(1/(n+a)-1/(n+b))小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意：余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。三.错位相减如：.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa说明求形如{an·bn}的数列的前n项和，若其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想．四：分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和五：合并求和：当通项公式中含有(-1)n,求和时可以对n的奇偶进行讨论,然后分情况求和.例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n可以先求出奇数项和偶数项的和，再相减。但更好的方法是：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]8．其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等