高中数学 直线与圆的综合应用

9.5直线与圆的综合应用一、填空题1.若圆22240xyxy的圆心到直线x-y+a=0的距离为22则a的值为________．解析圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得12222a化简得|a-1|=1,解得a=0或2．直线y＝33x绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系是________．解析由题意可得旋转30°后所得直线方程为y＝3x，由圆心到直线距离可知是相切关系．答案相切3．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围为________．解析由圆心(3，－5)到直线的距离d＝|12＋15－2|5＝5，可得4＜r＜6.答案(4,6)答案2或04．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝3，则OA→·OB→＝________.解析由题可知∠AOB＝120°，所以OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos120°＝－12.答案－125．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2最小值为________．解析法一点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2＋y2最小值为(13－1)2＝14－213.法二设圆的参数方程为x＝2＋cosα，y＝3＋sinα则x2＋y2＝14＋4cosα＋6sinα，所以x2＋y2的最小值为14－42＋62＝14－213.答案14－2136．若直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2恰有一个交点，则实数b的取值范围是________．解析利用数形结合的方法，曲线x＝1－y2表示在y轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线，注意到b＝－1时有两个交点及b＝－2时直线与圆相切，所以实数b的取值范围是－1b≤1，b＝－2.答案－1b≤1，b＝－27．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是________．解析设过A点的⊙C的切线是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.由|k＋2k|k2＋1＝1，得k＝±24.当x＝3时，y＝5k＝±542.答案－∞，－542∪542，＋∞8．设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．解析设切点为D，∠OAB＝α0απ2，则连接OD知OD⊥AB，从而得到AD＝1tanα＝cosαsinα，BD＝1tanπ2－α＝sinαcosα，所以线段AB＝cosαsinα＋sinαcosα＝1sinαcosα＝2sin2α0απ2，则线段AB长度的最小值为2.答案29．圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0的圆心到直线3x＋4y＋14＝0的距离是________．解析圆心为(－1,1)，它到直线3x＋4y＋14＝0的距离d＝|－3＋4＋14|5＝3.答案310．如果圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝18上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是________．解析由题意，圆C上总存在两个点到原点的距离2，即圆C与以O为圆心，半径为2的圆总有两个交点，即两圆相交，所以有|32－2|＜|CO|＜32＋2，即22＜2|a|＜42，解得－4＜a＜－2或2＜a＜4.答案(－4，－2)∪(2,4)11．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆x25＋y24＝1的交点个数为________．解析由题意可知，圆心O到直线mx＋ny＝4的距离大于半径，即得m2＋n24，所以点(m，n)在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m，n)在椭圆内，因此过点(m，n)的直线与椭圆必有2个交点．答案212．若过点A(0，－1)的直线l与曲线x2＋(y－3)2＝12有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．解析该直线l的方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则由题意，得d＝4k2＋1≤23，即k2≥13，解得k≤－33或k≥33.答案－∞，－33∪33，＋∞13．直线l：ax－by＋8＝0与圆C：x2＋y2＋ax－by＋4＝0(a，b为非零实数)的位置关系是________．解析圆的标准方程为x＋a22＋y－b22＝a2＋b24－4，且a2＋b24－4＞0，即a2＋b2＞16，圆心C－a2，b2到直线ax－by＋8＝0的距离d＝a×－a2－b×b2＋8a2＋b2＝|a2＋b2－16|2a2＋b2＜|a2＋b2－16|2a2＋b2－16＝r22×2r＝r(r是圆C的半径，则直线与圆相交)．答案相交二、解答题14．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求实数m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解析(1)原圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，所以m＜5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，则x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2.因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，所以16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，①由x＝4－2y，x2＋y2－2x－4y＋m＝0，得5y2－16y＋m＋8＝0，所以y1＋y2＝165，y1y2＝8＋m5，代入①得m＝85.(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0.所以所求圆的方程为x2＋y2－85x－165y＝0.15．如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C、D两点．(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．解析(1)由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线．∵M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1，设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA、NC，由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM∶ON＝MA∶NC，即23＋r＝1r⇒r＝3，则OC＝33，故⊙N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于点过A的直线MN的平行线被⊙N截得的弦长，此弦的方程是y＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到该直线的距离d＝32，则弦长为2r2－d2＝33.16.已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为55.求该圆的方程.解析设圆的方程为222()()xaybr.令x=0,得222220ybybar.|12yy|2221212()422yyyyra得2r21a①令y=0,得222220xaxabr|12xx|=2221212()422xxxxrbr得222rb.②由①②,得2221ba.又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0的距离为55得2555abd即21ab.综上,可得222121baab或222121baab解得11ab或11ab于是2222rb.所求圆的方程为22(1)(1)2xy或2(1)x2(1)2y.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A(29,0)．(1)求圆弧C2的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝30PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．解析(1)圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)．则线段AM的中垂线的方程为y－6＝2(x－17)．令y＝0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0)，又圆弧C2所在圆的半径为r2＝29－14＝15，所以圆弧C2的方程为(x－14)2＋y2＝225(x≥5)．(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝30PO，得x2＋y2＋2x－29＝0.由x2＋y2＋2x－29＝0，x2＋y2＝－13≤x，解得x＝－70(舍)．由x2＋y2＋2x－29＝0，x－2＋y2＝x，解得x＝0(舍)．综上知这样的点P不存在．(3)因为EF＞2r2，EF＞2r1，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d.因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0)，所以EF＝15＋132－d2＋142－d2，即132－d2＋142－d2＝18，解得d2＝161516.所以点O到直线l的距离为16154.18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，F2(4,0)，A(0,8)，直线y＝t(0＜t＜8)与线段AF1，AF2分别交于点P，Q.(1)当t＝3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；(2)过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C.求证：圆心C在定直线7x＋4y＋8＝0上．解析(1)当t＝3时，PQ中点为(0,3)，所以b＝3，又椭圆焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，所以c＝4，a2＝b2＋c2＝25，所以椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)证明因为Q在直线AF2：x4＋y8＝1上，所以Q4－t2，t.由P与Q关于y轴对称，得Pt2－4，t，又由QR∥AF1，得R(4－t,0)．设△PRF1的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有16－4D＋F＝0，－t2＋－tD＋F＝0，t2－42＋t2＋t2－4D＋tE＋F＝0，解得D＝t，E＝4－74t，F＝t－，所以该圆的圆心C－t2，78t－2满足7×－t2＋478t－2＋8＝8－8＝0，即圆心C在直线7x＋4y＋8＝0上．