高中数学18.概率127

-124-概率１．频率与概率频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，频率不是一个完全确定的数，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，但从大量的重复实验中发现，随着试验次数的增加，频率就稳定于某一固定值，这个固定值就是事件的概率.提醒：概率的统计定义是由频率来表示的，但是它又不同于频率的定义，只使用频率来估算概率.频率是实验值，有不确定性，而概率是稳定值.2.互斥事件与对立事件互斥事件：指不可能同时发生的事件，可以同时不发生.对立事件：A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生.提醒：（1）对立是互斥，互斥未必对立.（2）可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式)()(BPAPBAP来求，也可通过对立事件公式)(1)(APAP来求)(AP。A、B互斥A、B至少一个发生BA)()(BPAPA、B都发生BA0A、B都不发生BA)]()([1BPAPA、B恰有一个发生)()(BABA)()(BPAPA、B至多一个发生（至少一个不发生）)()()(BABABA13.（1）古典概型：特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每一个结果出现的可能性都是相等的.基本步骤：①计算一次试验中基本事件的总数n②事件A包含的基本事件的个数m③由公式nmAP)(计算.注：必须在解题过程中指出等可能的.如：在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是。解：记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为107.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率)(AP，然后利用)(1)(APAP求解]。（2）几何概型特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的.基本步骤：（1）构设变量（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解.如：（1）一条直线型街道的两端A、B的距离为180米，为方便群众，增加就业机会，想在中间安排两个报亭C、D，顺序为A、C、D、B.（I）若由甲乙两人各负责一个，在随机选择的情况下，求甲、乙两人至少一个选择报亭C的概率.（II）求A与C、B与D之间的距离都不小于60米的概率.解：（I）两个报亭由甲、乙随机选择一个，属于古典概型，共有4个基本事件.记M表示事件甲、乙两人至少一个选择报亭C，则M中包含3个基本事件；根据古典概型概率公式，甲、乙两人至少一个选择报亭C的概率43)(MP.（II）①构设变量.设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y米.②集合表示.用(x,y)表示每次试验的结果，则所有可能结果为0,0,1800|),(yxyxyx；记A与C、B与D之间的距离都不小于60米为事件M，则事件M的可能结果为1800,60,60|),(yxyxyxM③作出区域.如图所示，试验全部结果构成区域Ω为直线180yx与两坐标轴所围成的△ABC.而事件M所构成区域是三条直线180,60,60yxyx所夹中间的阴影部分.④计算求解.根据几何概型公式，得到91180216021S)(22ABC阴影SMP.所以，A与C、B与D之间的距离都不小于60米的概率为91.（2）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是_____（答：38）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到-125-，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（答：3263）理科（3）独立事件：A、B独立是A指发生与否对B的概率没有影响.提醒：（1）如果事件A、B独立，独立不一定互斥，互斥一定不独立；（2）如果事件A、B独立，那么事件A与B、A与B及事件A与B也都是独立事件（3）可将所求事件化为相互独立事件A、B的积，再利用公式)()(BPAPBAP来求.相互独立A、B至少一个发生BA)()(1BPAPA、B都发生BA)()(BPAPA、B都不发生BA)()(BPAPA、B恰有一个发生)()(BABA)()()()(BPAPBPAPA、B至多一个发生（至少一个不发生）)()()(BABABA)()(1BPAP如（4）设两个独立事件A和B都不发生的概率为91,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______（答：23）；（5）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）；（6）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：19）；（7）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关，那么，连过前二关的概率是________（答：2536）；（8）有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为nmmm21,且nmmm21，其相应的概率记为)(),(),(21nmPmPmP，则)(3mP的值为_____________（答：463）；（9）平面上有两个质点A、B分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点A向左、右移动的概率都是41，向上、下移动的概率分别是31和p，质点B向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q。①求p和q的值；②试判断最少需要几秒钟，A、B能同时到达D（1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的概率.（答：①11,64pq；②3秒；3256）（4）独立事件重复试验（二项分布）与超几何分布二项分布：事件A在n次独立重复试验中恰好．．发生了．．．k次．的概率()(1)kknknnPkCpp(是二项展开式[(1)]npp的第k+1项)，其中p为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=m.则()mMmnNnMNCCPXmC.此时我们称随机变量X服从超几何分布提醒：两种分布的抽样条件不同：超几何分布是有限样本不放回抽样，超几何分布中的参数是M,N,n；二项分布适用于n次独立试验，即有放回抽样（10）在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得411020530(4)0.029CCPXC（11）一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.解：由题意X012345P0．580.330.070.000.000.00-126-375939022638025001（12）小王通过英语听力测试的概率是31，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_______（答：94）；（13）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________（答：15128）（5）条件概率在事件A已经发生的条件下，B事件发生的概率，称B为事件A在给定下的条件概率，简称为对的条件概率，记作)|(ABP，且)()()|(APABPABP.（14）市场上供应的灯炮中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂的产品，表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：依题意进一步可得：（15）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。解设事件、、分别表示甲、乙、丙各抽到难签。由公式(1.1)(1.10)及(1.11)，有提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”，B=“…”；②列式计算；③作答。3.分布列、期望、方差（1）任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：①pi≥0,i=1,2,…;②p1+p2+…=1（这是检查及简化运算的途径之一）;（2）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度（3）离散型随机变量分布列的解法步骤：①弄清随机变量是什么？随机变量的取值有哪些？②弄清随机变量的取值的意义是什么？其概率是多少？③列出分布列④利用公式求出期望、方差3.记住以下重要公式和结论：（1）期望值E＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…;（2）方差D＝nnpExpExpEx2222121)()()(;（3）标准差DabaDbaEbaED2)(;)(;；22)(EED（4）若～B（n,p）,则E＝np,D＝npq,这里q=1-p;（16）甲、乙两人同时各射击一枪，击落一敌机，上级决定奖励a万元，按谁击落奖金归谁，若同时击落各一半原则分配奖金，甲、乙各得多少较合理。（已知甲的命中率为43，乙的命中率为54）解：敌机被击落有以下三种可能：（1）甲单独击落；（2）乙单独击落；（3）甲、乙共同击落.甲单独击落的概率为1935443544151435143乙单独击落的概率为1945443544151435441甲、乙共同击落的概率为1x2x…nx…P1P2P…nP…-127-19125443544151435443因此甲得到奖金数应为aaa19921912193乙得到奖金数应为aaa191021912194所以甲、乙二人奖金数之比为9：10时较合理。(17)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31，从B中摸出一个红球的概率为p．(Ⅰ)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．(Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p的值．解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@