高中数学2-4-3第3课时直线与抛物线的位置关系同步检测新人教版选修2-1

1、12.4第3课时直线与抛物线的位置关系一、选择题1．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A．48B．56C．64D．72[答案]A[解析]由y2＝4xy＝x－3消去y得，x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9，∴x＝1y＝－2或x＝9y＝6，∴|AP|＝10，|BQ|＝2或者|BQ|＝10，|AP|＝2，|PQ|＝8，梯形APQB的面积为48，选A.2．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA→与x轴正向的夹角为60°，则|OA→|为()A.21p4B.21p2C.136pD.1336p[答案]B[解析]依题意可设AF所在直线方程为y－0＝(x－p2)tan60°，∴y＝3(x－p2)．联立y＝3(x－p2)y2＝2px，解得x＝p6与3p2.∵FA→与x轴正向夹角为60°，∴x＝3p2，y＝3p.∴|OA→|＝x2＋y2＝21p2.3．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离。

2、为()2A.323B.255C.7105D.172[答案]B[解析]由已知得抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x＋y－4＝0，抛物线y2＝4x的焦点坐标是F(1,0)，到直线2x＋y－4＝0的距离d＝|2＋0－4|22＋1＝255.4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|等于()A．9B．6C．4D．3[答案]B[解析]设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为FA→＋FB→＋FC→＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线定义，有|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)[答案]B[解析]设点A的坐标为(x0，y0)，∴y20＝4x0①又F(1,0)，∴OA→＝(x0，y0)，AF→＝(1－x0，－y0)，∵OA→·AF→＝－。

3、4，∴x0－x20－y20＝－4②解①②组成的方程组得x0＝1y0＝2或x0＝1y0＝－2.[点评]向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式．6．(08·宁夏、海南)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.14，－1B.14，1C．(1,2)D．(1，－2)[答案]A3[解析]过点Q作准线的垂线QM，交抛物线于P′点，连结P′F，此时|P′Q|＋|P′F|＝|P′Q|＋|P′M|＝|QM|，此时|MQ|最小，所以所求坐标为14，－1.7．(09·全国Ⅱ理)已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.13B.23C.23D.223[答案]D[解析]设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由y＝k(x＋2)y2＝8x消去y得，k2x2＋4x(k2－2)＋4k2＝0，∴x1＋x2＝4(2－k2)k2，x1x2＝4.由抛物线定义得|AF|＝x1＋2，。

4、|BF|＝x2＋2，又∵|AF|＝2|BF|，∴x1＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2代入x1x2＝4，得x22＋x2－2＝0，∴x2＝1或－2(舍去)，∴x1＝4，∴4(2－k2)k2＝5，∴k2＝89，∵k0，∴k＝223.8．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3，则|AB|与|CD|的大小关系是()A．|AB||CD|B．|AB|＝|CD|C．|AB||CD|D．|AB|≠|CD|[答案]A[解析]由抛物线的焦点弦公式l＝2psin2θ知，|AB||CD|，故选A.49．(09·全国Ⅰ理)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于()A.3B．2C.5D.6[答案]C[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±bax.∵渐近线与y＝x2＋1相切，∴x2±bax＋1＝0有两相等根，∴Δ＝b2a2－4＝0，∴b2＝4a2，∴e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝5.10．(09·四川理)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2。

5、的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.3716[答案]A[解析]如图|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|∴所求最小值为点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离d＝|4×1－0＋6|5＝2，故选A.二、填空题11．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是________米．[答案]42[解析]设抛物线拱桥的方程为x2＝－2py，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米，即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p∴p＝4，则抛物线方程是x2＝－8y，5水面升高1米时，即y＝－1时，x＝±22.则水面宽为42米．12．已知抛物线y2＝4x的一条过焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴交点坐标(0,2)，则1y1＋1y2＝________.[答案]12[解析]弦AB是过焦点F(1,0)的弦，又过点(0,2)，∴其方程为x＋y2＝1，2x＋y－2＝0与y2＝4x联立得y2＋2y－4＝0，y1＋y2＝－2，y1y2＝－4，1y1＋1y2＝y1＋y2y1·y2＝－2－4＝12.13．在已知抛物线y＝x2上存在两个不同的。

6、点M、N关于直线y＝kx＋92对称，则k的取值范围为________．[答案]k14或k－14[解析]设M(x1，x21)，N(x2，x22)关于已知抛物线对称，依MN⊥l：y＝kx＋92，∴x21－x22x1－x2＝－1k，即x1＋x2＝－1k.设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝－12k，y0＝k×(－12k)＋92＝4.因中点在y＝x2内，有4(－12k)2⇒k2116，∴k14或k－14.14．(2010·重庆理，14)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足AF→＝3FB→，则弦AB的中点到准线的距离为________．[答案]83[解析]如右图，设|AF→|＝m，|FB→|＝n，6由1m＋1n＝2p得1m＋1n＝1，即13n＋1n＝1，∴n＝43，m＝4，∴AB中点到准线的距离d＝m＋n2＝4＋432＝83.三、解答题15．过抛物线y2＝x上一点A(4,2)，作倾斜角互补的两直线AB、AC交抛物线于B、C.求证直线BC的斜率为定值．[证明]设B(x21，x1)，C(x22，x2)(|x1|≠|x2|)，则kBC＝x1－x2x21－x22＝1x1＋x2；kAB＝x。

7、1－2x21－4，kAC＝x2－2x22－4.∵AB，AC的倾斜角互补．∴kAB＝－kAC.∴x1－2x21－4＝－x2－2x22－4，∴x1＋2＝－(x2＋2)，∴x1＋x2＝－4.∴kBC＝－14为定值．16．已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．[解析]由A、B两点在抛物线y2＝6x上，可设A(y216，y1)，B(y226，y2)．因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0.由OA→＝(y216，y1)，OB→＝(y226，y2)，得y21y2236＋y1y2＝0.∵y1y2≠0，∴y1y2＝－36，①∵点A、B与点P(4,2)在一条直线上，∴y1－2y216－4＝y1－y2y216－y226，化简，得y1－2y21－24＝1y1＋y2，即y1y2－2(y1＋y2)＝－24.将①式代入，得y1＋y2＝－6.②由①和②，得y1＝－3－35，y2＝－3＋35，从而点A的坐标为(9＋35，－3－35)，7点B的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝610.17．设抛物线y2＝8x的焦点是F，。

8、有倾角为45°的弦AB，|AB|＝85，求△FAB的面积．[解析]设AB方程为y＝x＋b由y＝x＋b，y2＝8x.消去y得：x2＋(2b－8)x＋b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2b，x1·x2＝b2.∴|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝2×(x1＋x2)2－4x1·x2＝2[(8－2b)2－4b2]＝85，解得：b＝－3.∴直线方程为y＝x－3.即：x－y－3＝0∴焦点F(2,0)到x－y－3＝0的距离为d＝12＝22.∴S△FAB＝12×85×22＝210.18．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求A、B两点间的距离．[分析]本题考查抛物线上的对称问题，可利用A、B两点在抛物线上，又在直线上，设出直线方程利用条件求解．[解析]由题意可设lAB为：y＝x＋b，把直线方程代入y＝－x2＋3中得，x2＋x＋b－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝(x1＋x2)＋2b＝2b－1.∴AB的中点坐标为(－12，b－12)，则该点在直线x＋y＝0上．∴－。

9、12＋(b－12)＝0，得b＝1.∴|AB|＝1＋12|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝2(－1)2－4×(－2)＝32.所以A、B两点间距离为32.。