高中数学2015新课标步步高12.5

§12.5二项分布及其应用1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝PABPA(P(A)0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝nABnA.(2)条件概率具有的性质：①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(×)(2)相互独立事件就是互斥事件．(×)(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(×)(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(×)2．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A.12B.14C.16D.18答案A解析P(B|A)＝PABPA＝1412＝12.3．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率都为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.16625B.96625C.192625D.256625答案B解析独立重复试验B(4，45)，P(k＝2)＝C24(45)2(15)2＝96625.4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．答案0.128解析依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.5.如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_______________________．答案18解析理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件ACB，且A，C，B之间彼此独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝18.题型一条件概率例1在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．思维启迪直接利用条件概率公式进行计算或利用古典概型．答案499解析方法一设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝C25C2100，所以P(B|A)＝PABPA＝5×4100×995100＝499.方法二第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为499.思维升华条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A.18B.14C.25D.12答案B解析P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，P(B|A)＝PABPA＝14.题型二相互独立事件的概率例2(2012·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．思维启迪将所求事件分解为几个彼此互斥的事件之和，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率公式求解．解设Ak、Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1B1)＋P(A1B1A2B2)＋P(A1B1A2B2A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)·P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)＝23×12＋232122＋233123＝1327.(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)＝P(A1B1A2B2)＋P(A1B1A2B2A3)＝P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)·P(A3)＝232122＋232122×13＝427.思维升华相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率．解记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是AB∪AB；“至少有1人击中目标”是AB∪AB∪AB.(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.8＝0.64.(2)“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即AB)，另一种是甲未击中乙击中(即AB)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件AB与AB是互斥的，所以所求概率为P＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P＝P(AB)＋[P(AB)＋P(AB)]＝0.64＋0.32＝0.96.题型三独立重复试验与二项分布例3乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的分布列．思维启迪本题主要考查独立重复试验及二项分布，解题关键是正确判断是不是独立重复试验及正确应用概率计算公式．解(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以4比1获胜”为事件A，则P(A)＝C34(12)3(12)4－3·12＝18.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.乙以4比2获胜的概率为P1＝C35(12)3(12)5－3·12＝532，乙以4比3获胜的概率为P2＝C36(12)3(12)6－3·12＝532，所以P(B)＝P1＋P2＝516.(3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7.P(X＝4)＝2C44(12)4＝18，P(X＝5)＝2C34(12)3(12)4－3·12＝14，P(X＝6)＝2C35(12)3(12)5－3·12＝516，P(X＝7)＝2C36(12)3(12)6－3·12＝516.比赛局数的分布列为X4567P1814516516思维升华利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．(2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．解(1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，则P(A)＝23×23×23＝827，P(B)＝C23232×1－23×23＝827，P(C)＝C24232×1－232×12＝427.(2)X的可能的取值为0,1,2,3.则P(X＝0)＝P(A)＋P(B)＝1627，P(X＝1)＝P(C)＝427，P(X＝2)＝C24×1－232×232×1－12＝427，P(X＝3)＝133＋C23132×23×13＝19.∴X的分布列为X0123P162742742719∴E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.对二项分布理解不准致误典例：(12分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列．易错分析由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成13”．规范解答解(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的，故X～B6，13.[2分]所以X的分布列为P(X＝k)＝Ck613k·236－k，k＝0,1,2,3,4,5,6.[5分](2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．[7分]P(Y＝k)＝(23)k·13(k＝0,1,2,3,4,5)，而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为P(Y＝6)＝(23)6，[9分]因此Y的分布列为Y0123456P1313·2313·(23)213·(23)313·(23)413·(23)5(23)6[12分]温馨提醒(1)二项分布是高中概率部分最重要的概率分布模型，是近几年高考非常注重的一个考点．二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，